x→0
f ( x) f ( x) 存在，则 lim = x→0 x x
.
难
解：∵ f ( x) 在 x=1 处可导∴ f ( x) 在 x=1 处连续，可得
x →1+ 0
lim f ( x) = lim f ( x) 即 a + b = 1
x →1− 0
(1)
02010401
x 2 , 设函数 f ( x) = ax + b ,
x ≤1 x >1
又∵ f ( x) 在 x=1 处可导, 可得 在处 x=1 可导，求 a 和 b.
x →1+ 0
lim
f ( x ) − f (1) f ( x) − f (1) = lim 即 x →1− 0 x −1 x −1
(2)
稍难
ax + b − 1 x2 −1 = lim =2 x →1+ 0 x →1− 0 x − 1 x −1 lim
x → x0
解答
× ×
难度 易 易 稍难
√
设 f ( x) 可导且下列极限均存在，则 ( A. lim
) 成立.
∆x → 0
f ( x0 + 2∆x) − f ( x0 ) 1 = f ′( x 0 ) ∆x 2
02010201
B. lim
x→0
f ( x) − f (0) = f ′(0) x f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆x f (a + 2h) − f (a ) = f ′(a ) h
高等数学 C 成长练习册
第 2 章 1 节: 导数概念 命题教师: 岳玲
题目编号 02010101 02010102 02010103
题目 若函数 f ( x) 在 x0 点可导，则 f ′( x0 ) = [ f ( x0 )]′ . 若 f ( x ) 在 x0 点不可导，则 f ( x ) 在 x0 不连续. 若 f ( x) 在 x0 处可导，则 lim f ( x ) 一定存在.
x 求 lim . x →0 f ( x − 2 x ) − f ( x − x ) 0 0
02010402
则 lim
x→ 0
x f ( x0 − 2 x) − f ( x0 − x)
难
=
1 f ( x0 − 2 x) − f ( x0 ) f ( x0 − x) − f ( x0 ) ] + lim −2lim[ x→0 − x →0 −2 x −x
题目
y ′′ = 2 e 2 f ( x ) f ′′( x ) .
解答
×
难度 稍难 稍难 易
若 f ( x ) = x n , 则 f ( n ) (0) = n ! .
√ √
设 y = xe x ，则 y '' = 2e x + xe x . 已知函数 f ( x) 任意阶可导， 且 f ′( x ) = [ f ( x)]2 ， 则 f ( x) 的
B
稍难
C. lim
∆x→0
D. lim
h→ 0
函数 f ( x) 在 x = x 0 处连续，是 f ( x) 在 x0 处可导的（ ）. 02010202 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B 易
1 − x, 已知函数 f ( x) = − x e , 02010203 A. 导数 f ′(0) = −1 C. 导数 f ′(0) =1 02010301 设 f(x)可导，则 lim
1 ( x − 1) 2
B. −
C.
1 x +1
D. −
1 x −1
A
稍难
设 y = ln( x + x 2 + 1) ，则 y′= ( 02020202 A.
). C.
1 x + x2 +1
B.
2x x + x2 +1
1 x2 +1
D.
x x2 +1
C
稍难
02020203
已知 y = ln
1 , 则 y′= ( u ( x)
Q2 ，则边际成本为 4
√ 易
1 c '(Q) = Q . 2
函数 f ( x ) 在点 x 处的弹性 幅度的大小. 某商品的需求函数为 Q = 100− 2 p ，则当价格 p = 10 时降价 1%总收益( 02030201
).
02030103
Ey 是反映随 x 的变化 f ( x ) 变化 Ex
).
A
稍难
A. −
u′( x) u ( x)
B.
1 u′( x )
C. u(x)
D. u′( x)
02020301
曲线 y = x −
1 与 x 轴交点的切线方程是 x
.
y = 2( x ± 1)
易
02020302 02020303 02020401
设y=
1 − ln x ，则 y ' = 1 + ln x
稍难
p =3
（2） P = 3 , P = 5 , P = 6 时的需求弹性.
(2)
EQ EP
=−
3 EQ 5 EP
p=5
= −1 ，
EQ EP
p =6
=−
6 5
高等数学 C 成长练习册
第 2 章 4 节: 高阶导数 命题教师: 岳玲
题目编号 02040101 02040102 02040103
已知 y = e 2 f ( x ) , 则
02040201
n（n≥ 2）阶导数 f A. n![ f ( x)]n
(n)
( x) = （ ）. C. [ f ( x )]2 n D. n![ f ( x)]2n
B
难
B. n![ f ( x )]n +1
函数 y = e f ( x ) ，则 y" = （ ）. 02040202 A. e f ( x ) C. e f ( x ) [ f ' ( x)]2 02040203 B. e f ( x ) f " ( x ) D. e f ( x ) {[ f ' ( x)]2 + f " ( x)} C 稍难 D 稍难
Q = 30
=
−P 10 − P
Q = 30
=−
2 3
解： (1) L( x) = R( x) − C ( x)
= (7 x + 0.01x 2 ) − (100 + 2 x + 0.02 x 2 ) = −0.01x 2 + 5 x − 100
设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函 数分别是
，
）. D . 59
A
易
P 为价格，则需求弹性值
-2 稍难
EQ EP
= _________.
P =2
02030302
已知成本函数为 C ( x ) = x 2 + 2 x + 500 ，当产量为 1000 时， 边际成本为 _______. 某产品的收益函数和总成本函数分别是 R( x ) = 7 x + 0.01x 2
√
易
A .增加约 0.75%
C .增加约 0.25%
B .减少约 0.75% D .减少约 0.25%
C
难
某产品价格与销量的关系为 P = 10 − Q 5 （ Q 为销量） ，则 02030202 销量为 30 的边际收益为（ ）. D .3 B 易
2 A. 10 − Q 5
B. -2
C. 2
某商品的需求函数为 Q = 75 − P 2 （ P 为价格， Q 为需求 02030203 量） ， P = 4 时的边际需求（ A .-8 B. 8 C. −2P 设 需 求 函 数 Q = p(8 − 3P) 02030301
解答
×
难度 稍难 易
√
02020103
u ( x) u ' ( x )v ( x ) − u ( x ) v ' ( x ) ]′ = 则[ . v( x ) [v( x )]2
设 f ( x + 2) =
1 x +1
√
易
，则 f ′( x ) = （ ）.
1 ( x + 1) 2
02020201 A. −
=
e arcsin
x
2 x − x2
. 稍难
02020402
x y = x arcsin + 4 − x 2 .求 y′ . 2
解： = arcsin
x x x 2 2 + ( − ) = arcsin . 2 2 4 − x2 2 4 − x2
难
解：令 u = 已知 y = f (
3x − 2 , 5x + 2
02030402
R( x) = 7 x + 0.01x 2
（1）求边际利润函数； （2）当产量分别是 200 公斤，250 公斤和 300 公斤时的 边际利润，并说明其经济意义.
设某商品的需求函数 Q = e 02030403 （1）需求弹性函数；
−p
5
，求
解：(1)
EQ P 1 −P P P = Q ' ( P) ⋅ = − e 5 ⋅ −P = − EP Q( P ) 5 5 e 5
dy dx
x =0
= 4arctg1 = π .
高等数学 C 成长练习册
第 2 章 3 节: 导数的应用 命题教师: 岳玲