《高等数学》第一章综合练习题（一）参考答案一、填空题 1．函数()ln =--142y x x 的定义域为{1,2,3,4}x x R x ∈≠且 。
提示：即解不等式组40ln 2020x x x ⎧-≠⎪-≠⎨⎪-≠⎩，可得1,2,3,4x ≠2．设函数)(x f 的定义域为]11[，-，则)13(2++x x f 的定义域为[3,2][1,0]--- 。
提示：即解不等式：21311x x -≤++≤。
3．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(sin )f x 的定义域为[2,2]k k πππ+ 。
提示：即解不等式0sin 1x ≤≤。
4．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为3[2,2]22k k ππππ++。
提示：即解不等式1cos 0x -≤≤5．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为1[0,tan1]2。
提示：即解不等式0arctan 21x ≤≤，可得02tan1x ≤≤ 6．函数y =的定义域为(1,1]- 。
提示：即解不等式组11020x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪+>⎩，可得11x -<≤7．若极限223lim2x x x ab x→-+=-，则=a 2 ，b =1-。
提示：要使此极限存在，则22lim(3)0x x x a →-+=，即20a -=，所以2a =；又222232(2)(1)limlim lim(1)122x x x x x x x x x x→→→-+--==-=---，所以1b =-。
8．若0x →cos x 与nmx 是等价无穷小，则=m 14，n = 2 。
提示：由于0cos n x x x mx →→=20x →=22200,2sin 11lim ,24,2nx n x x n x mm n -→<⎧⎪⎪=⋅==⎨⎪∞>⎪⎩所以2n =，14m =。
9．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m 12，n = 3 。
提示：000sin sin tan sin sin (1cos )cos lim lim lim cos n n n x x x xxx x x x x mx mx mx x→→→---== =33301)cos 1(cos 1sin lim -→⋅+⋅n x mx x x xx 300,311lim ,322,3n x n x n m m n -→<⎧⎪⎪===⎨⎪∞>⎪⎩， 由提示知，0tan sin lim1n x x x mx →-=，所以1,32m n ==。
10．若32(1)lim[]0(1)x x ax b x →∞+--=-，则a = 1 ，b = 5 。
提示：因为32(1)lim[]0(1)x x ax b x →∞+--=-， 即32(1)lim 1(1)x x a x x →∞+==-则32(1)lim[]5(1)x x b x x →∞+=-=- 11．若221lim 21x x ax bx →++=-，则a = 2 ，b =3-。
提示：要使此极限存在，则21lim()0x x ax b →++=，即10a b ++=，所以1a b =--；又22111(1)()(1)1lim lim lim 21(1)(1)12x x x x b x b x b x x b bx x x x →→→-++----====--++，所以3b =-，2a =。
12. 极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+= 3 。
提示： 第一个极限用的是有界函数与无穷小的乘积还是无穷小;第二个极限用的是第一个重要极限。
13. 极限3sin 2lim[sin]x x x x x→∞+= 3 。
提示：3sin3sin 21lim[sin ]lim3lim sin 23033x x x x x x x x xx x→∞→∞→∞+=⋅+=+= 注意与第六题的不同之处。
14．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是(2,)+∞ 。
提示：222111,2(1)(1)111lim lim lim(1),211220,2mm m x x x m x x x x m x x m --→→→∞<⎧-⎪-⎪-==-==⎨-+⎪>⎪⎩由题意2(1)1m x x --是比1x -高阶的无穷小知，21(1)1lim 01m x x x x →--=-，所以2m >。
15．若12lim()0k kkn nn n n →∞+++=，则k 的取值范围是(2,)+∞。
提示：22,21121120lim()lim lim ,2220,2k kk k k n n n k n n n k n n n n n k →∞→∞→∞∞<⎧+⎪+⎪=+++====⎨⎪>⎪⎩ 16．函数3arccos2x y =的反函数是2cos [,]3x y x ππ=∈- 。
17. 函数221x x y =+的反函数是2log (0,1)1xy x x=∈- 。
18． 如果lim()4xx x a x a→∞+=-，则=a ln 2 。
提示：22224lim()lim 1x aa a ax a x x x a a e x a x a -⋅+→∞→∞+⎛⎫==+= ⎪--⎝⎭所以：ln 4ln 22a ==。
19． 如果201cos ()3lim ()x x f x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=14- 。
提示：设0lim ()x f x A →=，则220001cos 1cos 1lim ()lim 3lim 332x x x x x A f x A A A x x →→→--⎛⎫==+=+=+⎪⎝⎭所以14A =-。
20．设2(1)32f x x x +=-+，则f =6x -。
提示：提示：令1t x =+可得2()56f t t t =-+《高等数学》第一章综合练习题（二）参考答案一、单项选择题1．下列结论不正确的是（ C ）。
A ．基本初等函数在其定义域内是连续的B ．基本初等函数在其定义区间内是连续的C ．初等函数在其定义域内是连续的D ．初等函数在其定义区间内是连续的 2. 下列说法正确的是（ D ）A ．无穷小的和仍为无穷小B ．无穷大的和仍为无穷大C ．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大 D. 收敛数列必有界 3．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（D ）无穷小A ．与β同阶不等价的B ．与β等价的C ．比β低阶的D ．比β高阶的 4． 设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（ C ）A ．1lim ()x f x →+必存在 B ．1lim ()x f x →必存在 C ．1lim ()x f x →-必存在 D. 1lim ()x f x →-必存在5. 下列说法不正确的是（ B ）。
A ．两个无穷小的积仍为无穷小B ．两个无穷小的商仍为无穷小C ．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 D. 在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小 6．偶函数的定义域一定是（ B ）A.包含原点的区间B.关于原点对称C. (,)-∞+∞D.以上三种说法都不对 7．若()f x 是奇函数，()ϕx 是偶函数，且[]()ϕfx 有意义，则[]()ϕf x 是（ A ）。
.A 偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数或偶函数8．下列函数中,( B )是奇函数.A ．2ln(1)x + B ．)x C ．sin x x D ．x x e e -+9．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加,()x ϕ是单调减少,则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内( B ) A.单调增加 B.单调减少 C.不是单调函数 D.无法判定单调性10．函数-=+x xy e e的图形对称于直线（ C ）A.y x =B.y x =-C.0x =D.0y = 11．若()f x 是奇函数,且对任意实数x ,有(2)()f x f x +=,则必有(1)f =( B )。
A.1-B. 0C.1D.212．下列各式中正确的是（ A ）0.lim0cos x x A x →= 0cos .lim 1x x B x →= .lim 0cos x x C x →∞= .lim 1cos x x D x→∞=13．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（ C ）A ．3sin 2x +B ．32sin 2x -C ． 3cos2x +D ．3cos2x - 提示：22(sin )3cos 23(12sin )22sin f x x x x =-=--=+ 2(cos )22cos 2(cos 21)3cos 2f x x x x =+=++=+14．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（ D ）。
.2A .12B .-2C .-12D 提示：设lim ()x f x A →∞=，则2211lim ()lim arcsin 3lim arcsin 311x x x x x A f x A A x x x x →∞→∞→∞⎛⎫==+=+ ⎪++⎝⎭1arcsinlim 31311x x x A A x x→∞=+=++ （因为1lim 0x x →∞=，所以1arcsinlim 11x x x →∞=）所以12A =-15．设()()-=-321xf x x，则lim ()→∞=x f x （ C ）。
....---1233A e B e C e D e提示：()()-=-321x f x x ，令2t x =-，则23()(1)2t f t t +=-+ 故()lim ()lim ()lim()lim()+⋅-+--→∞→∞→∞→∞==-=-=++23233331122t t x t t t f x f t e t t16．极限lim sinx x xπ→∞=（ B ）.1A .B π 2.C e .D 不存在17．当0x →时，1xe 的极限是（ D ）。
A ．0B ．+∞C ．-∞D ．不存在 提示：10lim xx e →+=+∞，10lim 0xx e →-=，所以当0x →时，1xe 的极限不存在18．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（ D ） .0A .B ∞ .1C .D 不存在提示：5555limlim 155x x x x x x →+→+--==--；5555lim lim 155x x x xx x →-→---==---； 当5x →时，5()5x f x x -=-的极限不存在。