定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：
弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①
线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②
因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ
绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于
Δ∑＝π(y＋y＋Δy)
＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]
＝2πyds＋o(dx)，
显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有
从而旋转体的侧面积为
相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．
例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．
由⑤式得侧面积为
例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．
故对哪个半圆周都有
代入公式⑤即得所求表面积为
解采用参数坐标较为方便．
令x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π
弧长微分
故表面积为
我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e
习题
29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．求旋转下列曲线所成曲面的面积
33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．
答案。