• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
dxdydz
t
dxdydz
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
( u
[
x
x
)
(uy )
y
( u z z
) ]dxdydz
t
dxdydz
• 流体的连续性微分方程的一般形式：
(u ) x
(u ) y
(u ) z
0
t x
y
z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
u x x
uy
u x y
uz
ux z
Y
1
p y
du
y
dt
u
y
t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
du
z
dt
u
z
t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。
若加速度 dux dt
,
du y dt
,
duz等于0，则上式就可转化为 dt
形式完全相同，但含义不一样。 势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任 何质点，而不局限于同一流线。它不适用于有旋流。 沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的 质点。它适用于有旋流。
End
21
工程流体力学电子教案第一版由毛根海教授 主持，浙江大学水利实验室开发研制而成。
开发组人员： 项目主持：毛根海 教授 脚本编写：毛根海、邵卫云、张燕 课件开发：胡卫红、邵卫云、张燕 素材准备：毛根海、邵卫云、张燕、洪源、章军军、 陈少庆等
欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dt
dx
duy dt
dy
duz dt
dz
<I>
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件 1、恒定流
p 0 t
<II>= 1 dp
1 2
d (ux2
u
2 y
uz2 )
u2 d(
2
)
• 沿流线（或元流）的能量方程：
z
p
u2 2g
C
注意：积分常数C，在不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不 变。 一般不同流线各不相同（有旋流）。
（应用条件：“——”所示，可以是有旋流）
第四节 欧拉运动微分方程的积分
19
1、实际流体区别于理想流体有何特点？理想流体的运动微
x
)
dx]dydz
[ u x
1 2
( u x
x
)
dx]dydz
(ux )
x
dxdydz
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( ux
x
)
dxdydz
同理可得：
y方向：
( u y
y
)
dxdydz
3 在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
dxdydz ( )dxdydz
t
z方向：
( uz
z
)
'zy p'zzx ’z
12
同样取一微元六面体作为控制体。
质量力 左右向压力 x向受力 前后面切力 上下向切力
x方向（牛顿第二运动定律 y
F ma ）：
xy pxx xz
dz dy
yx pyy
yz
'yz p'yy
'yx
zx
pzz zy
dx
p
X dxdydz
[ pxxdydz ( pxx
xx
x
分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？
实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中 等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应 力这一项。
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性
微分方程说明了什么问题？
一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒
20
3、 欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用 与沿流线的积分有何不同？
• 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-
Stokes，N-S)方程：
X
1
p x
v2ux
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
v2u y
duy dt
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
v2uz
duz dt
uz t
dx)dydz]
[ yxdxdz ( yx
yx
y
dy)dxdz]
du
[ zxdydx ( zx
zx
z
dz)dydx]
dxdydz x
dt
p'xx 'xz 'xy
x
第三节 流体动力学基本方程式
考虑条件：
13
1）
不可压缩0
2）切应力与主应力的关系表达式
y x z y z x
I Xdx Ydy Zdz -gdz
II 1 (p dx p dy p dz) d p
x y z
III
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
16
由欧拉加(u速xx 度uxxxddutux y
ux y
ux
uzuxxuzx
u)dy xuyx(ux
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程 三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分 二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
2
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为
p
p x
dx 2
受力分析(x方向为例)：
1.表面力
y
∵理想流体，∴=0
左表面
PM
pM
A
(
p
dx 2
p x
)dydz
右表面
PN
pN
A
(p
dx 2
p x
)dydz
第三节 流体动力学基本方程式
z D'
C'
A'
B'
M p(x,y,z) N
dz A
dx
o’ Ddy
p
Cpx
dx 2
B
O
x
2.质量力
9
单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，∴质量力为Xdxdydz
欧拉平衡微分方程
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
p z
0
第三节 流体动力学基本方程式
三、粘性流体的运动微分方程
11
1、粘性流体的特点
（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。
该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：
xy
(
u x y
u
y
x
)
yx
yz