x
ρuxudydzΔ
dx
Δ 时间经此两相对面元的动量净流出量为
x
(
ρuxu
)dydzdxΔ
同理
y
(
ρuyu
)dzdxdyΔ
z
(
ρuz
u
)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
x
ux
u
y
uy u
z
uz
u
dxdydz
ux
x
(u)
uy
y
u uz
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
A:控制体内流体动量对时间的变化率
动量
时刻 ＋d 时刻
ρudxdydz
ρudxdydz
(ρudxdydz)Δ
(ρu )dxdydz
9
EXIT
B:动量通量的净变化率
ABCD面，Δ 时间内流入的动量
ρuxudydzΔ
EFGH面，Δ 时间内流出的动量
ρuxudydzΔ
Px
Px
Pxxi
Pxy
j
Px
z
k
P y Py Pyxi Pyyj Pyzk
Pz Pz Pzx i Pzy j Pzz k
作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为
Px
x
Px dx
Pxxi
Pxy j
Pxz k
x
( Pxx i
Pxy j
Pxzk )dx,
z
u
u
ux x
u
uy y
u
uz z
dxdydz
u •u u •u dxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
d
d
ρu
ρudivu
dxdydz
dρ
d
u
ρ
du
d
ρudivu
dxdydz
u
dρ
d
ρdivu
ρ
du
d
dxdydz
应用连续性方程
ρ du dxdydz
x方向 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
ρu x dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
ρux
(ρu x x
)
dxdydz
(ρu x ) dxdydz
x
5
EXIT
A：流入与流出微元控制体的质量速率
之差
x方向
(ρu x ) dxdydz x
y方向
(ρuy ) dxdydz y
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流入控制体 的质量速率
流出控制体 的质量速率
=
控制体内的 质量累计速率
A
B
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
4
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导 边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为 ρ(x,y,z,)，速度u(x,y,z,)沿x，y，z三坐
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
Pyx y
Pzx z
dxdydz,
Pxy
x
Pyy y
Pzy z
dxdydz,
Pxz x
Pyz y
Pzz z
dxdydz.
Px x
Py y
Pz z
dxdydz
作用在微元六面体 上的全部表面力
作用在微元六
面体上的力 = Fb dxdydz
+
Px xPy yຫໍສະໝຸດ Pz zdxdydz
雷诺输运定理
系统内物理量 的变化率
=
控制体内物理 量的变化率
+
物理量通过控制体控 制面的净流出速率
作用在控制体中流 控制体内流体动量
动量通量通过控制体
体的合外力 = 对时间的变化率 + 控制面的净变化率
C
A
B
8
EXIT
边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为ρ(x, y,z, ) ，速度u(x, y,z, 沿) x，y，z三坐
x
)
(ρu y
y
)
(ρu z
z
)dxdydz
ρ (ρux ) (ρuy ) (ρuz ) 0
x
y
z
本方程适用于单组分流体的任意流动形态。
d ρdivu 0
dτ
散度
7
EXIT
1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程
• 对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外 力总和 。
d
A+B
11
C:作用在控制体中流体的合外力
作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力 质量力：设A点单位质量力为Fb，则微元上的质量力为
Fb dxdydz
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x方向应力
12
作用于ABCD、AEHD、 AEFB面上的应力分别为
Py y Py dx Pyxi Pyy j Pyzk y (Pyxi Pyy j Pyzk )dy,
Pz z Pz dx Pzx i Pzy j Pzz k z (Pzx i Pzy j Pzz k )dz.
13
所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是
Pxx x
15
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
3
x
u x x
u y y
u z z
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
μ 3
y
u x x
u y y
u z z
14
根据动量定理
ρ
du
d
dxdydz
(Fb
Px x
Py y
Pz z
)dxdydz
约去 dxdydz，得
du x
d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y
d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z
d
Fbz
Pzx x
Pzy y
Pzz z
运动方程的 微分形式
将式1.54和1.57带入化简可得动量方程
(ρu x
x
)
(ρuy y
)
(ρuz z
)dxdydz
z方向 (ρuz ) dxdydz z
B：微元控制体内的质量累计速率
密度
时刻
ρ
＋d 时刻 ρ ρ d
质量
ρdxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρdxdydz
d
ρ dxdydz
6
EXIT
ρ
dxdydz
(ρu x