d d ρvdΩ = ρvdΩ + ∫ ρvv ⋅ ndS = ∑ f ∫ dt ΩCM dt Ω∫ S CV CV
作用在控制体上的外力包括： 表面力（压力，应力，表面张力等） 体积力（重力，科氏力 Coriolis forces，电磁力等） 从微观的角度来讲，压力和应力来源于通过表面的微观动量交换。 对于牛顿流体（Newtonian fluids） ，剪应力张量
如果系数 a～f 是 x，y 以及函数 u 的函数，则偏微分方程(0.25)是非线性的，但是如果方程最高阶导 数的系数中不包含最高导数，则称为拟线性方程。 例： xu xx + yu yy = x
2
：非齐次二阶线性偏微分方程 ：拟线性二阶偏微分方程 ：非线性二阶偏微分方程
uu xx + u yy = 0
(0.23)
0.3.5 边界层流动
∂ ( ρu1 ) ∂ ( ρu1u1 ) ∂ ( ρu 2 u1 ) ∂ 2 u1 ∂p + + =µ − 2 ∂t ∂x1 ∂x 2 ∂x1 ∂x1
(0.24)
0.4 流动的数学分类
考虑含两个自变量的线性偏微分方程：
Байду номын сангаас
au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = g
0.1 流体力学的基本方程 0.1.1 守恒原理
守恒律可以从给定控制物质（control mass）的外在特性（extensive properties）导出。如质量，动量 和能量的守恒。研究固体力学时，控制物质是很容易确定的，但是在研究流体力学时，处理给定空 间区域（control volume）的流动更为方便。 设φ为任意内在的守恒量，相应的外在特性Φ为
2 τ ij = 2µDij − µδ ij ∇ ⋅ v 3
如果用 b 表示体积力，则动量方程可写成如下形式：
(0.11)
∂ ρvdΩ + ∫ ρvv ⋅ ndS = ∫ T ⋅ ndS + ∫ ρbdΩ ∂t Ω∫ S CV SCV Ω CV CV
(0.12)
0.1.4 其他标量的守恒方程
能量守恒
3
(0.14)
St
(0.15)
各无因次参数依次为 St =
L0 ρv0 L0 ， Re = ， Fr = v0 t 0 µ
v0 L0 g
， Pr =
µC p k
。
0.3 流体力学方程的简化模型
守恒方程是耦合非线性方程组，求解十分困难。在很多情况下，方程中的某些部分等于 0，或 者是影响很小，可以忽略不计，通过对方程进行简化，可以大大的降低求解的难度。
2 u xx − u y = sin x
二阶（拟）线性偏微分方程的数学分类是依据最高阶（二阶）导数的系数来划分的。
⎧< 0 ⎪ b − 4ac ⎨= 0 ⎪> 0 ⎩
2
椭圆型（elliptic） 抛物型(parabolic) 双曲型(hyperbolic)
不同类型的偏微分方程的解有不同的特征，在实际数值求解时也需要不同的数值方法。 比如，双曲型方程存在特征线（解的特征传递的方向） ，在流体力学中，超音速流的激波表面就是特 征线（面） 。但是椭圆型方程就没有特征线，这样，双曲型方程和椭圆型方程需要不同的边界条件。
∂p + ρbi = 0 ∂xi
(0.22)
0.3.4 自然对流
由于热传递过程中温度差形成的流体密度的微小差异也可导致流动的产生，这样的流动成为自然对 流。在处理自然对流时，流体依然是看作不可压缩的，采用 Boussinesq 假设，认为密度随温度的变 化是线性的，这时动量方程可写成：
4
∂ρu i ∂p + ∇ ⋅ ( ρu i v ) = ∇ ⋅ ( µ∇u i ) − + ρ 0 g i − ρ 0 g i β (T − T0 ) ∂t ∂xi
(0.25)
如果系数 a～g 仅是自变量 x，y 的函数，则偏微分方程是线性的，如果 g=0，则偏微分方程(0.25)是 齐次的。(0.25)还可以表达为算子的形式：
L(u ) = g
对于线性的算子 L，符合以下运算规律（superposition） ：
L(u1 ) + L(u 2 ) = L(u1 + u 2 ) L(αu1 ) = αL(u1 ) ，α为常数 L(αu1 + β u 2 ) = αL(u1 ) + β L(u 2 )
0.1.2 质量守恒方程
在方程（0.2）中，取φ=1，可得质量守恒方程：
d d ρdΩ = ρdΩ + ∫ ρv ⋅ ndS = 0 ∫ dt ΩCM dt Ω∫ SCV CV
写成微分形式为
(0.3)
∂ρ + ∇ ⋅ ( ρv) = 0 ∂t
(0.4)
0.1.3 动量守恒方程
在方程（0.2）中，取φ=v，可得质量守恒方程：
The base of Computational Fluid Dynamics 计算流体力学基础
教材：J.H. Ferziger, M. Peric, Computational Methods for Fluid Dynamics 参考资料：苏铭德，计算流体力学，清华大学出版社 周雪漪，计算水力学，清华大学出版社
6
第一章 计算流体力学概论
本章教学目标： 介绍计算流体力学（CFD）的一些基本概念，计算流体力学的基本内容和数值计算的主要特性。 使学生对计算流体力学有一个总体的认识。 本章的重点和难点： CFD 的定义；CFD 的基本构架；数值方法的重要特征；常用的 CFD 方法。 学时安排：2 学时 本章主要的主页外语词汇： 计算流体力学： Computational Fluid Dynamics, (CFD) 结构化网格： （ Structured /Regular Grid） 块结构化网格： （ Block- structured Grid） 非结构化网格：(Unstructured Grid) 有限差分法：Finite Difference Method（FDM） 有限体积元法： （ Finite Volume Method（FVM） 有限元法：Finite Element Method（FEM）
1.1 引言
尽管流体力学的基本方程早在一个多世纪就已经发现了，但是直到目前为止，仍只能用得到一 些简单流动的解析解。这些优先的结果虽然有助于我们深入认识流动的本质，但是很难将其直接应 用到工程实践当中。因此人们不得不采用其他的手段来解决问题。 在很多情况下，人们采用基于近似分析和无因次分析以及经验公式的基础上建立的简化方程。 例如，阻力的定义: FD = C D Sρv ,S 为迎流面积，ρ为密度，v 为流速，CD 为阻力系数，是一些 无量纲数的函数。这一公式是基于无因次分析的结果。通常情况下，CD 可以通过模型实验得到，在 相同无量纲参数的情况下可用于实际工程问题。这样的公式对于仅有一两个无量纲数的复杂形体的 流动是非常有用的（很多情况下，Re 数是主要的无量纲数） 。 但是对于依赖于多个无量纲参数的流动， 实验中要同时满足所有的无量纲参数就非常的困难了。 比如在空气动力学中 Re 和 Ma 的矛盾以及水动力学中 Re 数和 Fr 数的矛盾。 在另外一些情况中，实验很难或者是几乎不可能进行。比如实验测量设备给流场带来的扰动， 或者是流动是不可解触的(液态硅的结晶过程)； 有些物理量用目前的设备难以测量或者是测量是难以 得到很好的精度等。 实验在测量一些总体参数，如阻力，升力，压差等是非常有效的，但是在很多情况下，流场的 细节也非常重要，比如在技术改进和优化设计的时候。这时实验手段就显得非常的昂贵而且费时费 力了，因此，寻找另一种替代方案是非常必要的。 随着电子计算机的出现，数值方法变成了一种现实的替代方案。尽管这些偏微分方程数值解法 的基本思想在一个世纪以前就被人发现了，但是由于其庞大的计算量，在计算机问世以前，很少有
∂ρu i ∂p + ∇ ⋅ ( ρu i v ) = − + ρbi ∂t ∂xi
如果流体又是不可压缩的无旋流动，则可进一步简化为势流：
(0.18)
∇ 2Φ = 0
v = ∇Φ
(0.19) (0.20）
0.3.3 蠕变流
当流动的 Re 数很小时，惯性力和非定常力可以忽略不计，则动量方程可简化为：
∇ ⋅ ( µ∇u i ) −
∂ ∂ ρhdΩ + ∫ ρhv ⋅ ndS = ∫ k∇T ⋅ ndS + ∫ (v ⋅ ∇p + S : ∇v )dΩ + pdΩ ∫ ∂t ΩCV ∂t Ω∫ S CV SCV Ω CV CV
其中 h 为焓，T 为温度，k 热传导系数，S 粘性剪应力张量
(0.13)
0.2 无因次化方程
流动的试验研究通常用到模型试验，并把试验结果用无因次的形式表达出来，最终换算到实际的流 动条件。这种手段也可用于数值分析。分别对时间 t，空间坐标 xi，速度 ui，压力 p，温度 T 进行无 因次化， t =
1
Φ=
Ω CM
∫ ρφdΩ
(0.1)
上式中， Ω CM 为控制物质的体积，根据迁移定理
d d ρφdΩ = ρφdΩ + ∫ ρφ ( v − v b ) ⋅ ndS ∫ dt ΩCM dt Ω∫ SCV CV
(0.2)
上式中， Ω CV 为控制体（CV）体积，SCV 为控制体表面，n 为控制体表面的外法线方向，v 是控制 体表面的流体运动速度，vb 是控制体表面的运动速度，多数情况下，vb=0。
⎞ ⎟δ ij + 2µDij ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(0.9)
(0.10)
注意，所有的公式都采用了 Einstein 求和约定，即所有的下标如果在一项中出现两次表示对所有的 下标进行求和，如