N (t ) 平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差 2
功率谱密度对称于 0
N(t) 表示成莱斯表示式 N (t) a(t) cos0t b(t) sin 0t
X (t) acos a(t)cos0t asin b(t)sin0t
令
a1 b1
(t) (t)
a a
cos s in
a(t)
b(t)
于是， X (t) a1(t) cos0t b1(t) sin 0t
低频限带随机过程
同样 X (t) A(t) cos[0t (t)] 准正弦振荡
A(t) a12 (t) b12 (t)
慢变化随机过程
(t) arctg[b1 (t) / a1 (t)]
概率密度函数?
正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数
D(a1t ) D(b1t ) 2
f a1b1
(a1t , b1t
)
1
2
2
exp
1
2
2
[(a1t
a cos )2
(b1t
a sin )2 ]
2、由随机变量的函数的概率分布求 fA (At ,t )
ab11tt
At At
cost sin t
J cost sin t
At sin t At cost
f A ( At ,t )
f A ( At ), f (t )
二维r.v.函数的概率密度变换 边沿概率密度
f ab (at , bt ) f a (at ) fb (bt )
1
2
2
exp
at2 bt2
2 2
1
2
2
exp
At2
2 2
abtt
At At
cost s in t
利用二维随机变量函数的概率密度变换有：
解析过程性质
若X (t)为实平稳随机过程，则 Xˆ (t)也是实平稳 过程，且联合平稳 。
实函数与其希尔伯特变换的相关函数（功率谱）
相同
RXˆ ( ) RX ( ) S Xˆ () S X ()
RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
RXXˆ ( ) RXˆX ( )
| H () | 1
0
H ()的相移 90
0 90
希尔伯特变换逆变换
x(t) H 1[xˆ(t)]
1 xˆ(t )d 1 xˆ(t )d
h(t) xˆ(t)
h(t) 1
t
希尔伯特变换应用及实现
滤波法（难点在于滤波器设计）
平衡调幅器 0 带通滤波器 0 单边带输出
At
f A ( At ,t ) J fa1b1 (a1t , b1t )
f a1b1
(a1t ,b1t
)
1
2
2
exp
1
2
2
[(a1t
a cos )2
(b1t
a sin )2 ]
f A
(
,t
|
)
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2a(a1t
cos
b1t
s in
)]
f A ( At ,t ) J f a1b1 (a1t , b1t )
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2a(a1t
cos
b1t
sin )]
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2aAt
(cos t
cos
sin t
sin )]
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2aAt
cos(
t
)]
0 t 2 At 0
由边沿分布求 fA (At ) f (t )
RXˆX ( ) RXˆX ( )
解析过程性质
RXˆX (0) 0
RX~ ( ) 2[RX ( ) jRXXˆ ( )] 2[RX ( ) jRˆ( )]
S XXˆ
()
jSX jSX
() ()
0 0
S
X~
()
4S
0
X
()
0 0
例题解析
设低频信号a(t)的频谱为：
A()
a(t) X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t b(t) X (t) sin 0t Xˆ (t) cos0t 称此为莱斯表达式。
a(t),b(t)的性质
a(t)和b(t)都是实随机过程 E[a(t)] E[b(t)] 0 a(t)和b(t)都是平稳随机过程，且联合平稳。
fA (At ,t ) J fab(at ,bt )
at J At
bt At
at
t cost bt sint
t
At sint At cost At
f A
(
At
,t
)
At
2
2
exp
At2
2 2
0
At 0, 0 2
else
2
2
fA ( At ) 0 fA ( At ,t )dt f A ( At ,t ) 0 dt
2
1 ut
ut
2
exp( ut )
2 2
=
1 exp( ut )
2 2
2 2
概率密度为指数函数
包络与相位的二维概率密度函数
求解过程：
协方差矩阵
考虑最简单最常用的功率谱密度关于中心频 率对称的情况
2
K
0
Ra (
)
Rab ( )
0 a2
Rab ( ) Ra ( )
Ra ( ) Rab ( )
(或0 ) 0
希尔伯特变换应用及实现
相移法（难点在移相网络）
调制信号
V0 sin t
平衡 v1=V0 sin t sin0t 调幅器A
V0 sin 0t 载波 振荡器
调制信号90度 载波90度
移相网络
移相网络
合并网络 v3
V0 cos0t
平衡 v2 =V0 cos t cos0t 调幅器B
实信号、复信号、解析信号
包络和相位的一维概率密度
假设窄带高斯实随机过程 X (t)的均值为0，方差为 2
表示成莱斯表示式
X (t) a(t) cos0t b(t) sin 0t
令t固定，
abtt
At At
cost s in t
a(t) A(t)cos(t) b(t) A(t)sin(t)
fab (at , bt )
E[a2 (t)] E[b2 (t)] E[ X 2 (t)]
a(t),b(t)的性质
Rab( ) RX ( )sin0 RˆX ( )cos0
Rab (0) 0
RX ( ) Ra ( ) cos0 Rba ( )sin0
Sa () Sb () LP[SX ( 0 ) SX ( 0 )] Sab () jLP[SX ( 0 ) SX ( 0 )]
3.由边沿分布求 fA (At ) f (t )
At 的条件概率密度为
2
f A ( At ) 0 f A ( At ,t )dt
At exp( At2 a 2 ) • 1
2
2 2 2
2 0
exp[
aAt
2
cos(
t )]dt
At
2
exp(
At2 a 2
2 2
)
I
0
(
窄带随机过程
信息与通信工程学院 叶方
本章重点及难点
窄带随机过程的特点及工程意义 赖斯表达式、准正弦振荡表达式 窄带随机过程包络与相位慢变化特性 窄带高斯随机过程包络和相位特性 窄带高斯过程包络平方的概率密度函数 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位特
性
希尔伯特变换
定义
在区间( t )内给定实值函数x(t) ，它的希 尔伯特变换记作 xˆ(t（) 或者记作H[x(t)]）
aAt
2
)
At 0
因此正弦型信号加窄带高斯噪声包络的一维概率密度为
f A ( At
)
At
2
exp(
At2 a 2
2 2
)
I
0
(
aAt
2
)
At 0
服从广义瑞利分布
窄带高斯过程的包络服从瑞利分布
正弦信号加窄带高斯噪声的包络服从广义瑞利 分布（又称为莱斯分布）
为何引入复信号 实信号与复信号的关系 如何得到，有何特点，与之间存在什么关系
解析过程
定义
给定任实随机过程X (t) ，定义复随机过程X (t)为
X (t) X (t) jXˆ (t)
Xˆ (t) H[X (t)] 1 X ( )d
t
称X~(t)为实随机过程X (t) 的复解析过程，简称 解析过程。
窄带波形的频谱及示意图
f £ fc
S( f )
O
S( f )
O
(a) 缓慢变化的包络[a(t)]
频率近似为 fc (b)
f
fc
f
t
莱斯表达式
任何一个实平稳窄带随机过程 X (t) 都可以表示 为： X (t) a(t) cos0t b(t) sin 0t
其中 0为固定值， a(t)、b(t)是另外两个随机过 程，且
At
2
2
exp