SX(ω )
-ω c 0
ωc ω
如果X(t)的功率谱密度为： S X ( ), 0 c | | 0 c S X ( ) others 0, 则称X(t)为带通过程。
SX(ω )
-ω 0-ω c -ω 0 -ω 0+ω c
0
ω 0-ω c ω 0 ω 0+ω c
对于正弦型信号： s(t)=acos(ω0t+θ) 它的希尔伯特变换为： ˆ s(t ) a sin(0t ) 和前面比较可以看出，正弦型信号的复 指数函数与解析形式表示的复信号是完 全相同的。但是其它实信号并不一定是 这样。
三、高频窄带信号的复数表示方法 高频窄带信号是指信号的频谱限制 在载波频率±ω0附近的一个频带范围内， 且此范围远远小于载波频率。可以表示 为： s(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)] 式中的A(t)和θ(t)分别代表信号的振幅和 相位分量，它们都是低频限带信号。和 载波相比，变化要缓慢得多。
~ (t ) 的频谱为： se ~ ~ X e ( ) A( 0 )
可以得到： ~ ~* ~ X e ( ) A( 0 ) 2 X ( ) A ( 0 ) 说明用复指数形式来表示窄带信号的时 候，其实部就是原来的实窄带信号，但 是其频谱发生了改变。当窄带信号的带 宽远远小于载波频率的时候，误差可以 近似忽略不计。
5.1.1 复信号
一、正弦信号的复数表示方法 无线电技术中最常用的基本信号就 是正弦信号。包括正弦型和余弦型，它 们的复数表示形式统称为复正弦信号。 简单的正弦信号可以表示为： s(t)=acos(ω0t+θ)=acosφ(t) 其中φ(t)＝ω0t+θ，a、 θ、 ω0都为实常 数。 s(t)为实信号，是t的实值函数。
该系统的传输函数为： j , H ( ) j sgn( ) j,
0 0
进一步得到其幅频响应和相频响 应为： | H ( ) | 1
/ 2, ( ) / 2,
0 0
上式表明，希尔伯特变换相当于一个 90°的移相器。它对所有频率分量的 幅度响应为1，对正频率分量（包括0 频率）移相-90° ，对负频率分量移相
3. a(t)和b(t)各自广义平稳且联合平稳， 并且有
Ra ( ) Rb ( ) RX ( ) cos 0 RXX ( ) sin 0 ˆ
a(t)和b(t)的性质 4. E[a2(t)]=E[b2(t)]=E[X2(t)] ；
5.
ˆ Rab ( ) RX ( ) sin 0 RX ( ) cos 0 Rab ( ) Rba ( ) Rab ( ) Rab ( )
其中 ˆ a (t ) X (t ) cos 0t X (t ) sin 0t ˆ b(t ) X (t ) sin 0t X (t ) cos 0t
该式称为实平稳窄带随机过程的莱 斯表示式。
a(t)和b(t)的性质 1. a(t)和b(t)都是实随机过程;
2. E[a(t)]=E[b(t)]=0;
6. Rab(0)=0;
a(t)和b(t)的性质 7. RX ( ) Ra ( ) cos 0 Rba ( ) sin 0 8. S a ( ) Sb ( ) LP[ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 9. S ab ( ) jLP[ S X ( 0 ) S X ( 0 )] LP[A]表示取A的低频部分。说明a(t) 和b(t)都是缓慢变化的随机过程。 特别的，如果SX(ω)关于中心频率± ω0 对称的时候，有Sab(ω)＝0，则Rab(τ)＝0， 即a(t)和b(t)正交。
定义复指数函数： ~(t ) ae j (t ) ae j e j0t a e j0t ~ s ~ ae j ，称为复包络。 式中 a ~ (t ) 可以看出s(t)是 s 的实部，即： s(t ) Re[ ~(t )] s 某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
有： ~ X (t ) [a (t ) jb (t )]e j 0t [a (t ) cos 0t b(t ) sin 0t ]
j[a (t ) sin 0t b(t ) cos 0t ]
其实部为 X (t ) a(t ) cos0t b(t ) sin 0t
解析过程的性质 7.
~ RX ( ) 2[ RX ( ) jR XX ( )] ˆ
~ ~ 式中 RX ( )表示 X (t )的自相关函数
8.
jS X ( ) , 0 S XX ( ) ˆ jS X ( ) , 0
9.
4 S X ( ) , 0 ~ S X ( ) 0 0 ,
2. 希尔伯特变换的逆变换为：
ˆ x(t ) H 1[ x(t )] ˆ 1 x(t ) d
ˆ 1 x(t ) d


5.1.3 解析过程及其性质
定义： 给定任一实随机过程X(t)，定义一 ~ 复随机过程 X (t )为： ~ ˆ X (t ) X (t ) jX (t ) ˆ ˆ 其中 X (t )为X(t)的希尔伯特变换。则X (t ) ~ X 也是一个实随机过程， (t ) 称为X(t)的 复解析表示式，或称其为解析过程。
5.2 窄带随机过程的表示方法
根据窄带随机过程的定义，其带宽 Δω=2ωc，远远小于载波频率ω0 。
X(t)
SX(ω )
Δω
-ω 0-ω c -ω 0 -ω 0+ω c
0
ω 0-ω c ω 0 ω 0+ω c
ω
t
5.2.1 窄带随机过程的莱斯(Rice)表示
对于任一实随机过程X(t)，可以得 到解析过程： ~ ˆ X (t ) X (t ) jX (t ) ˆ 其中 X (t )为X(t)的希尔伯特变换。有：
解析过程的性质
ˆ ˆ RXX ( ) RX ( ) RXX ( ) RX ( ) ˆ ˆ 3. ˆ 式中 R ˆ ( ) E[ X (t ) X (t )]
XX
4. 5. 6.
ˆ RXX ( ) E[ X (t ) X (t )] ˆ ˆ RX ( )表示 RX ( )的希尔伯特变换 RXX ( ) RXX ( ) ˆ ˆ RXX ( ) RXX ( ) ˆ ˆ R XX ( 0 ) 0 ˆ
信号表达式还可以写成： s(t)=sc(t)cosω0t+ ss(t)sinω0t 其中 sc(t) =A(t)cos[θ(t)] ss(t) =A(t)sin[θ(t)] 两者相互正交，也都是低频限带信号。
窄带信号表示成复信号也是有两种 方法：复解析表示法和复指数表示法。 1. 复解析表示 设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 ~ (t ) 定义窄带信号s(t)的解析信号 sH 为： ~ (t ) s(t ) js(t ) ˆ sH ˆ 式中 s(t ) H [ s(t )]。
~ (t ) 可以证明：满足上面要求的 s 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为： ~(t ) s(t ) js(t ) ˆ s
可以推导出： 1 s( ) ˆ s(t ) d t 上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
ˆ s(t ) H [ s(t )]
二、任意信号的复数表示方法 设s(t)为任意的实信号，频谱为X(ω)。 ~ (t ) 为了简化分析，用复信号s 来表示， 它必须满足： ~ (t )] 1. s(t ) Re[ s
2 X ( ) 0 ~ 2. X ( ) 0 0 ~ ~(t)的频谱。 式中 X ( )为 s
|X(ω )|
~ |XH(ω )|
-ω 0-ω c -ω 0 -ω 0+ω c
0
ω 0-ω c ω 0 ω 0+ω c
ω
0
ω 0-ω c ω 0
ω 0+ω c
ω
2. 复指数表示 设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 ~ (t ) 定义窄带信号s(t)的复指数函数 se 为： ~ ~ (t ) A(t )e j[ 0t ( t )] A (t )e j 0t se ~ 其中 A (t )＝A(t )e j ( t ) sc (t ) js s (t )
用复数表示为： s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2 j 0t ( 0 ) 因为 e 所以s(t)的频谱为： X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
解析过程的性质
ˆ 1. 若X(t)为广义平稳（实）过程，则 X (t ) 也是广义平稳（实）过程，且两者联合 平稳。 2. R ( ) R ( ) S ( ) S ( )
ˆ X X ˆ X X
ˆ ˆ ˆ 式中 RX ( ) E[ X (t ) X (t )]，表示 X (t ) ˆ 的自相关函数。 S X ( )和S X ( ) 分别表 ˆ ˆ 示 X (t ) 和X(t)的功率谱密度。
~ ˆ X (t )e j 0t [ X (t ) cos 0t X (t ) sin 0t ] ˆ j[ X (t ) sin 0t X (t ) cos 0t ]
令
ˆ a (t ) X (t ) cos 0t X (t ) sin 0t ˆ b(t ) X (t ) sin 0t X (t ) cos 0t
ω
如果ωc<< ω0，则称X(t)为高频 窄带随机过程，简称窄带过程。有 时也称为准单色过程。目前通信中 常用的高频调制信号就属于窄带随 机过程。