2 Re z 3} 例9 集合{z： {z x iy： 2 x 3}
是一个垂直带形， 是一个单连通的无界区域， 其边界为二直线 Re z x 2,
Re z x 3.
例10 集合{z： 2 arg( z i) 3},
是一个以i为顶点的角形。
由于
1 设 E : : n 1, 2,3, 例6 . n
则E中每一点均为孤立点； E没有内点； E仅有一个聚点0 E； E不是开集，也不是闭集； E是非连通的有界集； E的闭包和边界均为E {0}.
例7
设E : {z x iy : x, y均为有理数}.
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为分段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
3. 简单曲线或若当曲线
设C : z z( t ) (a t b) 为一条连续曲线, z(a ) 与 z(b) 分别称为 C 的起点和终点.
对于满足 a t1 b, a t 2 b 的 t1 与 t 2 , 当 t1 t 2 而有 z ( t1 ) z ( t 2 ) 时, 点 z ( t1 ) 称为曲线 C 的重点.
(4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部 ,
有界的单连通域.
(5) z 1 z 1 1
令 z r cos ir sin ,
2 2 2

2
2 3,
这个角形在第二象限；
是一个单连通的无界区域，
其边界为两条半直线 arg( z i) 2,arg( z i) 3, 和一个顶点{i}。
例11 集合{z : 2 | z i | 3},
是一个圆环； 是一个多连通的有界区域，
i
其边界圆周 |z i | 2, |z i | 3.
说明 1. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的 点所组成的. C
2 2
z
C3 3
C1 1
例8 集合{z： (1 i) z (1 i ) z 0} {z x iy：x y 0}
是一个半平面， 是一个单连通的无界区域，
y
o
x
其边界为直线(1 i) z (1 i) z＝2( x y) 0
例4


复平面上非空的连通开集称为区域。
边界
以上基 本概念 的图示
区域

z 0
邻域
z 1
z 2
P 边界点
例5
设E : U (a; r ).
则E中每一点都是聚点，没有孤立点；
E中每一点都是内点； E是连通集； E是有界集；
E的闭包是U (a; r )； E的边界是{| z a | r}.
o
y
x
例1
{( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
否则称E为无界集.
例2
{( x , y ) | x y 0}
o
x
复平面上有界闭集称为紧集.
y
例3
{( x , y ) | 1 x y 4}
2 2
o
x
若E中任意两点，恒可用E中的有限条线段 连接起来，则称E为连通集.
r
a
称由不等式 0 z a r 所确定的点的 集合 z : 0 z a r 为 a 的去心邻域, 记作U (a; r )
r
a
称 z ; z a r 为无穷远点的一个邻域。


2. 聚点与孤立点
设集合E .若对任意r (0, ), U (a; r ) E中恒有 无穷多个点，则称a为集合E的一个聚点或极限点.
2. 光滑曲线
设 x(t ) 和 y (t ) 闭区间[ a, b]上具有连续的导函数 x(t ) 和 y(t ) , 并且对t [ a, b] , [ x(t )]2 [ y (t )]2 0 (或z ' (t ) x(t ) iy(t ) 0) ,则称 z x(t ) iy (t ) (a t b), 是 上的一条光滑曲线.
边界 z 1 z 1 1
2 2 2
[(r cos 1) r sin ] [(r cos 1) r siห้องสมุดไป่ตู้ ] 1 (r 2 2r cos 1)( r 2 2r cos 1) 1 (r 2 1)2 4(r cos )2 1 r 0 或 r 2 2 cos 2 , r 2 cos 2 是双叶玫瑰线(也称双纽线),
o
例12 在 上，集合{z : 2 | z | },
是一个单连通的无界区域，
其边界是圆周 {z :| z | 2}.
集合{z : 2 | z | },
是一个多连通的无界区域，
其边界是{z :| z | 2} {}.
例13 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还 是无界的,单连通的还是多连通的. 1 2 (1) Re( z ) 1; ( 2) arg z ; ( 3) 3; 3 z (4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1. 解 (1) 当 z x iy 时,
若a E, 但a不是E的聚点，即存在 0， 使得U (a; r ) E＝ {a}, 则称a为E的孤立点。
3. 内点
若存在r 0, 使U (a; r ) E， 则称a为集合E的一个内点.

a
E
4. 边界与闭包
若对任意r 0, 使E U (a; r ) ， 并且( E ) U (a; r ) , 则称a为E的一个边界点。
则E中没有内点，没有孤立点； 中每一点均为E的聚点；
E不是开集，也不是闭集； E是非连通的无界集； E的闭包和边界均为复平面 .
二、若当(Jordan)曲线
1. 连续曲线
设 x(t ) 和 y(t ) 闭区间[a, b]上的连续函数, z x(t ) iy(t ) (a t b), 是 上的一条连续曲线. 称
Re( z ) x y ,
2 2 2
Re( z 2 ) 1 x 2 y 2 1,
无界的单连通域(如图).
( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部, 无界的单连通域.
第二节 复平面的拓扑
• 一、初步概念 • 二、若当曲线
一、初步概念
1. 邻域
设a , r (0, ), 则称圆盘
z : z a r为a的一个邻域，
或a的一个r 邻域，记作U (a; r ).
r
a
称 z : z a r以a为中心， r为半径的闭圆盘，记作U (a; r ).
没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若当 曲线).
如果简单曲线(若当曲线) C 的起点和终点重合, 即 z(a) z(b) , 那末称 C 为简单(若当)闭曲线.
若当定理 任何一条若当闭曲线把复平面分成两个 没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个
无界的称为外区域。这两个区域以若当闭曲线为边界。
2
z 1 z 1 1是其内部,
有界的单连通域.
P
E
全部边界点所组成的点集称为E的边界，记作E.
称E E为E的闭包，记作E.
5. 开集与闭集
若E中每一点均为内点，则称E为开集.
若 －E是开集，则称E为闭集.
P
称E E为E的闭包, 记作E. E的闭包E为闭集.
E
6. 有界集、无界集、紧集与连通集
y
若存在K 0, 对于任意a E, 恒有 | a | K，则称E为有界集.
y
边界 内区域 外区域
o
x
4. 区域
复平面上非空的连通开集称为区域。 区域加上它的边界称为闭区域。
在复平面上，若区域D内任意简单闭曲线所围成 的内区域仍全在D内，则称D是单连通区域。 否则称为多连通区域。
D
D
单连通区域
多连通区域
在扩充复平面上，若区域D内任意简单闭曲线所 围成的内区域或外区域(包括)仍全在D内，则称D 是单连通区域。否则称为多连通区域。