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静定桁架的内力计算

第二节平面静定桁架的内力计算桁架是工程中常见的一种杆系结构,它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。

桁架中各杆件的连接处称为节点。

由于桁架结构受力合理,使用材料比较经济,因而在工程实际中被广泛采用。

房屋的屋架(见图3-10)、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。

图3-10房屋屋架杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架(如一些屋架、桥梁桁架等),否则称为空间桁架(如输电铁塔、电视发射塔等)。

本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算,有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。

在平面桁架计算中,通常引用如下假定:1)组成桁架的各杆均为直杆;2)所有外力(载荷和支座反力)都作用在桁架所处的平面内,且都作用于节点处;3)组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接,杆件自重不计,桁架的每根杆件都是二力杆。

满足上述假定的桁架称为理想桁架,实际的桁架与上述假定是有差别的,如钢桁架结构的节点为铆接(见图3-11)或焊接,钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点,图3-11 钢桁架结构的节点它们都有一定的弹性变形,杆件的中心线也不可能是绝对直的,但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征,其计算结果可满足工程实际的需要。

分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法,下面分别予以介绍。

一、节点法因为桁架中各杆都是二力杆,所以每个节点都受到平面汇交力系的作用,为计算各杆内力,可以逐个地取节点为研究对象,分别列出平衡方程,即可由已知力求出全部杆件的内力,这就是节点法。

由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程,所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。

例3-8 平面桁架的受力及尺寸如图3-12a所示,试求桁架各杆的内力。

图3-12 例3-8图解:(1)求桁架的支座反力以整体桁架为研究对象,桁架受主动力2F以及约束反力、、作用,列平衡方程并求解:,=0,2×-=0,=,+-2=0,=2-=(2)求各杆件的内力设各杆均承受拉力,若计算结果为负,表示杆实际受压力。

设想将杆件截断,取出各节点为研究对象,作A、D、C节点受力图(图3-12b),其中=,=,=。

平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力,故首先从只含两个未知力的节点A 开始,逐次列出各节点的平衡方程,求出各杆内力。

节点A:,+sin300=0, =-2=-2F(压),+cos300=0, =-0.866=1.73F(拉)节点D:,-+=0, ===1.73F(拉),-2F=0, =2F(拉)节点C:,- sin600+sin600=0,==-2F(压)至此已经求出各杆内力,节点C的另一个平衡方程可用来校核计算结果:,-cos600-cos600-=0将各杆内力计算结果列于表3-2:表3-2 例3-8计算结果杆号 1 2 3 4 5内力-2F 1.73F 2F -2F 1.73F 例3-9 试求图3-13a所示的平面桁架中各杆件的内力,已知,G=20kN。

(a)(b)图3-13 例3-9图解(1)画出各节点受力图,如图3-13b所示,其中=F i(i=1,2,…,6)。

各点未知力个数、平衡方程数如表3-3。

由于A点的平衡方程数与未知力个数相等,所以首先讨论A点。

表3-3 未知力个数、平衡方程数节点 A B C D E未知力个数 2 3 4 4 2独立方程数 2 2 2 2 1(2)逐个取节点,列平衡方程并求解节点A:, F1sin300-G=0, (拉),-F1cos300-F2=0, F2=-F1cos300=-34.6kN(压)节点B:,, =-34.6kN(压), F3-G=0, F3=G=20kN(拉)节点C:,-F5cos300-F3cos300=0, F5=-F3=-20kN (压),cos600-F5cos600=0,F4=cos600-F5cos600=40+20cos600-(-20)cos600 kN =60kN(拉)将各杆内力计算结果列于表3-4:表3-4 各杆内力计算结果杆号 1 2 3 4 5 6内力/kN 40 -34.6 20 60 -20 -34.6二、截面法节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。

如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力,则可用截面法。

这种方法是适当地选择一截面,在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分,然后考虑其中任一部分的平衡,应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。

例3-10如图3-14a所示的平面桁架,各杆件的长度都等于1.0m,在节点E上作用荷载F1=21kN,在节点G上作用荷载F2=15kN,试计算杆1、2和3的内力。

图3-14 例3-10图解:(1)求支座反力以整体桁架为研究对象,受力图如图3-14a所示,列平衡方程:,=0,×3.0-F1×1.0-F2×2.0=0,+-F1-F2=0解得:==17kN,=kN(2)求杆1、2和3的内力作截面mn假想将此三杆截断,并取桁架的左半部分为研究对象,设所截三杆都受拉力,这部分桁架的受力图如图3-14b所示。

列平衡方程:, -×1.0×sin600-×1.0=0, F1×0.5+×1.0×sin600-×1.5=0,+×sin600-F1=0解得:=-21.9kN(压)= kN=20.8kN(拉)= kN=2.3kN(拉)如果选取桁架的右半部分为研究对象,可得到相同的计算结果。

例3-11 平面桁架结构尺寸如图3-15a所示,试计算杆1、2和3的内力。

图3-15 例3-11图解:(1)求支座反力以整体桁架为研究对象,受力图如图3-15b所示,列平衡方程:,, F B×8a-F1×a-F1×2a-F1×3a-F1×4a-F2×5a-F2×6a-F2×7a=0,+F B-4 F1-3 F2=0解得:,=-F B+4 F1+3 F2=(2)求杆1、2和3的内力作截面I-I假想将杆1、2、3截断,并取桁架的左半部分为研究对象,设所截三杆都受拉力,这部分桁架的受力图如图3-15c所示。

列平衡方程:,,,解得:(压),(拉),(拉)由上面的二个例子可见,采用截面法求内力时,如果矩心取得恰当,力矩平衡方程中往往仅含一个未知力,求解方便。

另外,由于平面任意力系只有三个独立平衡方程,因此作假想截面时,一般每次最多只能截断三根杆件,如果截断的杆件多于3根时,它们的内力一般不能全部求出。

习题3—1 图3-16所示的6种情形中哪些是静定问题?哪些是静不定问题?图3-16 题3—1 图3—2 试求图3-17所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。

其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。

图3-17 题3—2图3-3 静定多跨梁的荷载及尺寸如图3-18所示,长度单位为m,求支座反力和中间铰处的压力。

图3-18 题3—3图3-4 静定刚架所受荷载及尺寸如图3-19所示,长度单位为m,求支座反力和中间铰处压力。

图3-19 题3—4图3-5 如图3-20所示,杆AB重G、长度为,A端置于水平面上,B端置于斜面上并系一绳子,绳子绕过滑轮C吊起重物F Q。

各处摩擦均不计,求AB杆平衡时的G值及A、B 两处的约束力。

(α、β均为已知)图3-20 题3—5图3-6 如图3-21所示,在曲柄压力机中,已知曲柄OA=R=0.23m,设计要求:当α=200,β=3.20时达到最大冲力F=315kN。

求在最大冲压力F作用时,导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩M,并求此时轴承O的约束反力。

图3-21题3—6图3-7 在图3-22所示架构中,A、C、D、E处为铰链连接,BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内,力F=200N,力偶矩M=100N·m,不计各杆件重量,求A、B、C处的约束反力。

图3-22 题3—7图3-8 如图3-23所示,折梯由两个相同的部分AC和BC构成,这两部分各重0.1kN,在C点用铰链连接,并用绳子在D、E点互相联结,梯子放在光滑的水平地板上,今在销钉C上悬挂G=0.5kN的重物,已知AC=BC=4m,DC=EC=3m,∠CAB=60°,求绳子的拉力和AC作用于销钉C的力。

图3-23题3—8图3-9 三脚架如图3-24所示,F P=4.0kN,试求支座A、B的约束反力。

图3-24题3—9图3-10如图3-25所示,起重机停在水平组合梁板上,载有重G=10kN的重物,起重机自身重50kN,其重心位于垂线DC上,如不计梁板自重。

求A、B两处的约束反力。

图3-25 题3—10图3-11 平面桁架的结构尺寸如图3-26所示,荷载F已知,求各杆的内力。

图3-26 题3—11图3-12 平面桁架的荷载及结构尺寸如图3-27所示,求各杆的内力。

a) b)图3-27 题3—12图3-13 如需求图3-28所示桁架中3、5、7各杆的内力,利用截面法,作截面I—I截断此三杆,问能否求出三杆内力?图3-28 题3—13图3-14 求图3-29所示桁架中1、2、3各杆的内力,F为已知,各杆长度相等。

图3-29 题3—14图3-15 桁架尺寸如图3-30所示,主动力F为已知,求桁架中1、2、3各杆的内力。

图3-30 题3—15图3-16 桁架尺寸如图3-31所示,主动力F为已知,求桁架中1、2、3、4各杆的内力。

图3-31 题3—16图。

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