金融经济学思考与练习题（一）1、在某次实验中，Tversky 和Kahneman 设计了这样两组博彩： 第一组：博彩A ：（2500，0.33； 2400，0.66；0，0.01） 博彩B ：（2400，1） 第二组：博彩C ：（2500，0.33； 0，0.67） 博彩D ：（2400，0.34； 0，0.66）实验结果显示，绝大多数实验参与者在第一组中选择了B ，在第二组中选择了C ，Tversky 和Kahneman 由此认为绝大多数实验参与者并不是按照期望效用理论来决策，他们是如何得到这个结论的？解：由于第一组中选择B 说明1（2400）φ0.33(2500)+0.66(2400)+0.01(0) 相当于0.66（2400）+0.34（2400）φ0.66(2400)+ 0.34{3433 (2500)+ 341 (0)} 根据独立性公理，有1（2400））φ3433 (2500)+ 341(0) (*) 第二组选择C 说明0.33（2500）+0.67(0)φ0.34(2400)+0.66(0) 相当于 0.34{3433 (2500)+ 341(0)}+0.66(0)φ0.34(2400)+0.66(0)根据独立性公理，有3433 (2500)+ 341 (0) φ1(2400) (**) (*)与(**)矛盾，因此独立性公理不成立，绝大多数参与者不是按照期望效应理论决策。

2、如果决策者的效用函数为,1,1)(1≠-=-γγγx x u ，问在什么条件下决策者是风险厌恶的，在什么条件下他是风险喜好的？求出决策者的绝对风险厌恶系数和相对风险厌恶系数。

解：1)(",)('----==γγγx x u x x u 绝对风险厌恶系数：1)(')("-=-=x x u x u R A γ 相对风险厌恶系数：γγ==-=-x x x u xx u R R 1)(')(" 当γ>0时，决策者是风险厌恶的。

当γ<0时，决策者是风险喜好的。

3、决策者的效用函数为指数函数,1)(ααxe x u --= ，问他的绝对风险厌恶系数是否会随其财富状态的改变而改变？投保者与保险公司的效用函数均为指数函数，且投保者的α=0.005，保险公司的α=0.003，问投保者与保险公司谁更加风险厌恶？解：αααα=--=-=--x xA ee x u x u R )(')("由于投保者的绝对风险厌恶系数为0.005，而保险公司为0.003，因此投保者更加厌恶风险。

4、在上例中，如果存在一种风险，其损失值服从参数值为0.01 的指数分布，那么投保者为规避这个风险愿意付出的最大保费为多少？保险公司至少收取多少保费才愿意为这种损失提供保险？解：假设投保者的初始财富为w ，则投保者为了避免这种风险愿意付出的最大保费为P ，则dx e e w Eu e P w u x x w P w 01.00)(005.0)(005.001.0005.01)(005.01)(-∞----⎰-=-=-=-εdx e e dx e e e e x w x x w P w ⎰⎰∞---∞----=-=0005.0005.001.00005.0005.0)(005.001.001.06.138005.02ln 2005.001.0005.0≈=⇒==p e P假设保险公司的初始财富为w ，则保险公司为了承担这种风险必须收取的最小保费为P ，则dx e e P w Eu e w u x x P w w 01.00)(003.0003.001.0003.01)(003.01)(-∞-+--⎰-=-+=-=ε 9.118007.001.001.001.01007.0001.00)(003.0003.0====-∞-∞--⎰⎰P dx e dx e e e x x x P5、投资者A 的初始资产为零，其效用函数为21)(y y u =，如果A 来说，参加博彩L =(100；36：0.5)与获得无风险的x 元是无差异的，求x 的值。

解：648362110021)()(21=⇒=+===x L Eu x x u6、拥有初始财富w 元人民币的驾驶员决定是否合法停车。

如果她决定合法停车，她将保留她的初始财富w。

如果她决定非法停车，有两件事情会发生。

首先，她将节省时间，所节省的时间对她的价值为s 元人民币。

无论她是否因非法停车而得到罚单，她都会在初始财富w 的基础上加上这s 元。

其次，她有可能收到罚单，得到罚单的机率为p。

如果她收到了罚单，她必须缴纳f 元罚金。

她的VNM效用函数是货币的严格增函数，且处处连续、二阶可导，严格凹。

该驾驶员的目标是最大化其预期效用。

(a) 司机的停车问题实际上是一个在风险下决策的问题。

合法停车是一个“安全博彩”：司机将肯定得到w。

写出与非法停车相对应的“风险博彩”。

画出分别与“安全博彩”和“风险博彩”相对应的概率树。

(b) 如果司机最终决定合法停车，那么s 和f 之间必须满足什么关系？(c) 我们定义 S(p, f ) 如下：给定机率p 和罚金f，当司机非法停车所节省的时间对司机的价值为S(p, f )时，非法停车与合法停车对司机而言没有分别。

写出定义函数S(p, f)的数学恒等式。

用文字解释为什么这一恒等式背后隐含下面的决策规则：如果 S(p, f ) > s，合法停车。

如果 S(p, f ) < s，非法停车。

如果 S(p, f ) = s，合法停车与非法停车对司机而言等价。

(d) 对(c)中的恒等式进行规范的静态比较分析。

p 和f 的变动会对 S(p, f ) 造成怎样的影响？判定各表达式的符号，这些符号与司机的决策有什么关联？(e) 证明 S 对f 的弹性大于 S 对p 的弹性。

（提示：你已经得到了∂S/∂p 和∂S/∂f 的表达式。

运用二阶泰勒展开式和VNM效用函数严格凹的事实。

）(a) 司机的停车问题实际上是一个在风险下决策的问题。

合法停车是一个“安全博彩”：司机将肯定得到 w 。

写出与非法停车相对应的“风险博彩”。

画出分别与“安全博彩”和“风险博彩”相对应的概率树。

解：安全博彩风险博彩(b) 如果司机最终决定合法停车，那么 s 和 f 之间必须满足什么关系？ 假设司机的效用函数为v,如果司机最终决定合法停车，那么 s 和 f 之间必须满足)()1()()(s w v p f s w pv w v +-+-+>.(c) 我们定义 S(p, f ) 如下：给定机率 p 和罚金 f ，当司机非法停车所节省的时间对司机的价值为S(p, f )时，非法停车与合法停车对司机而言没有分别。

写出定义函数S(p, f )的数学恒等式。

用文字解释为什么这一恒等式背后隐含下面的决策规则：)()1()()(S w v p f S w pv w v +-+-+=所决定的S 为S(p, f )，此时非法停车与合法停车对司机而言没有分别。

如果 S(p, f ) > s ，合法停车。

如果 S(p, f ) < s ，非法停车。

如果 S(p, f ) = s ，合法停车与非法停车对司机而言等价。

(d) 对(c)中的恒等式进行规范的静态比较分析。

p 和 f 的变动会对 S(p, f ) 造成怎样的影响？判定各表达式的符号，这些符号与司机的决策有什么关联？)()(')1()()('0S w v pSS w v p f S w v p S f S w pv +-∂∂+-+-++∂∂-+= ()pSS w v p f S w pv f S w v S w v ∂∂+-+-+=-+-+)(')1()(')()( p1－p w+s-fw+s1w())(')1()(')()(S w v p f S w pv f S w v S w v p S +-+-+-+-+=∂∂ 由于效用函数为单调增函数，因此，pS∂∂>0,说明如果得到罚单的几率越高，那么司机要求节省时间带来的效应越大才会违法停车。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-+=1)('0f S f S w pv ，01)(')('>=-+-+=∂∂f S w pv f S w pv f S这说明如果罚单处罚越严重，司机要求节省时间带来的效应越大才会违法停车。

(e) 证明 S 对 f 的弹性大于 S 对 p 的弹性。

（提示：你已经得到了 ∂S/∂p 和 ∂S/∂f 的表达式。

运用二阶泰勒展开式和VNM 效用函数严格凹的事实。

）()S pS w v p f S w pv f S w v S w v S p p S )(')1()(')()(+-+-+-+-+=∂∂ SfS f f S w pv f S w pv S f f S =-+-+=∂∂)(')(' ()()p f f S w v f f S w v f f S w v p f S w v f S p pS S ff S ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-+-+=∂∂∂∂2)("21)(')(")1()(' 若f 比较小，则其高阶无穷小量可以忽略，可得=∂∂∂∂Sp p S SffSp 1>1，说明S f f S ∂∂>S p p S ∂∂.7、试证明，如果风险证券x 一阶随机占优于风险证券y ，则x 也必定二阶随机 占优于y 。

证明：如果x 一阶随机占优于y 则，对任意的收益率t ，)()(t F t F y x ≤，则0)()(≤-t F t F y x 因此，对任意的z 有()0)()(0≤-⎰dt t F t F zyx成立因此x二阶随机占优于y。