x y
x y
( x 2 2 xy y 2 )dx ( y 2 2 xy x 2 )dy 0 , 2、
y x 1 1 . 三、化下列方程为齐次方程,并求出通解:
x y1 1、 y ； x y3 2、 ( 2 x 5 y 3)dx ( 2 x 4 y 6)dy 0 .
dy ax by c ), 当b1 0时, 方程可化为 f ( dx (ax by ) c1 dz dy 令 z ax by, 则 a b ， dx dx 1 dz zc ( a) f ( ). 可分离变量的微分方程. b dx z c1
x 解得 z x C , 2 2 4 x 即 y x C . 2
例2 求方程 2 yy 2 xy xe
2
x2
的通解.
解
1 x 2 1 y xy xe y , 2
1( 1)
令z y
y ,
2
dz dy 则 2y , dx dx
a1 b1 2. 当 时 , a b
令 u ax by 则
dy ax by c f( ) dx (ax by) c1
du uc bf ( )a dx u c1
两边积分即可得通解。
三、利用变量代换求微分方程的解
有时可通过适当的变量代换把一个方程化为 可分离变量的方程： dy 例1 求 ( x y )2的通解. dx dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程 dx dx du 1 u 2 解得 arctanu x C , dx
(齐次方程)
x 令v , y
dx dv v y dy dy
dv y dy
1 v2
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 积分得 y2 2 y v y 1 故有 ( v )2 1 v 2 C C2 C C 得 y 2 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
ln(ln u) ln x C1 ,
ln u C x ,
所求通解为 ln xy C x ,
dy 1 又如： = dx x + y
解
令 x y u,
dy d u 则 1, dx dx
du 1 1 , 代入原式 dx u
分离变量法解得 u ln(u 1) x C ,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C ,
另解
或 x C 1e y y 1
dx 方程变形为 x y . dy
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P ( x ) y Q( x ) y n ( n R, n 0,1) dx
2、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化为 标准形式再求解 .
思考题
方程
0
x
[2 y( t ) t 2 y 2 ( t )]dt xy( x )
是否为齐次方程? 解 方程两边同时对 x 求导:
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y,
所求通解: tan( x y 1) x C .
例3 求微分方程 xy y y(ln x ln y ) 的通解.
解
令u xy ,
则 u xy y ,
代入原方程得 u
u ln u , x du dx du dx , , u ln u x u ln u x
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy y P ( x ) y1 n Q( x ), 两端除以y ，得 dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx
练习题答案
一、1、 y 2 x 2 ( 2 ln x c ) ； 2、 x 2 ye c . 二、1、 y 2 x 2 y 3 ； 2、 x 2 y 2 x y . y2 1 ln[( x 1) 2 ( y 2) 2 ] C ； 三、1、 arctan x 1 2 2 2、 (4 y x 3)( y 2 x 3) C .
第四节 可用变量代换法求解的一 阶微分方程
一、齐次方程 二、可化为齐次型的方程 三、利用变量代换求微分方程的解 四、伯努利方程
一、齐次方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x 2.解法 令 u y , 即 y xu , dy u x du , dx dx x du u x f ( u), 代入原方程,得 dx du f ( u ) u 可分离变量的方程 即 . dx x du dx 分离变量，两边积分, 得 f ( u) u x
积分后再用
代替 u,便得原方程的通解.
y y 例1 求解微分方程 y tan . x x 解 令 u y , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tanu, cos u dx d u , 分离变量, 两边积分,得 sin u x
2、可化为齐次方程的方程
令 x X h,
dy P ( x ) y Q( x ) y ( 0,1, R ) 3、伯努利方程 dx
伯努利方程的解法 令 z y1
六、几点说明:
1、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同的 解法 , 因此首先要识别方程的类型 , 然后应用相 应的解法 .
二、可化为齐次型的方程
dy ax by c 1.定义 形如 f( )的微分方程 dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令 x X h, (h 和 k 是待定的常数)
y Y k，
则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
即
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x , y 故原方程的通解为 sin C x . x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例2 求解微分方程
y y 2 解 方程变形为 y 2 ( ) , 令 u y , 则 y u x u, x x x 代入原方程得 u x u 2 u u2 , du dx , 分离变量, 两边积分,得 2 x u u 1 1 dx 即 d u , u1 u x u1 x ( u 1) ln ln x ln C , 即 C, u u 故原方程的通解为 x ( y x ) C y .
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
例2 求 y sin 2 ( x y 1) 的通解.
解
令 u x y 1, 则
故有
即
1 u sin2 u,
解得
tan u x C ,
n
n
z y1 n 代入即得 求出通解后，将
y1 n z e
(1 n ) P ( x )dx
(1 n ) P ( x )dx dx C ). ( Q( x )(1 n)e
dy 4 2 y x y 的通解. 例1 求方程 dx x
解
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
其通解为 z e
1 dx x
( a ln x ) e
x dx
1
dx C
a x C ( ln x )2 , 2 z y 1 代入, 得原方程通解: 将
五、小结
1、齐次方程
dy y f ( ). dx x
齐次方程的解法
y 令 u . x
y Y k.
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
练 习 题
一、 求下列齐次方程的通解: 2 2 1、 ( x y )dx xydy 0 ；
x 2、 (1 2e )dx 2e (1 )dy 0 . y
二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: 2 2 1、( y 3 x )dy 2 xydx 0, y x 0 1 ；
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
例3 求解微分方程
x y y(ln y ln x ).
解 方程变形为 y y ln y , 令 u y , 则 y u x u, x x x 代入原方程得 u xu u ln u, du 1 分离变量, 两边积分,得 u(ln u 1) x dx ,
x y
思考：
例 求解微分方程 提示:
a1 b1 2. 当 时 , 上述方法不能用. a b
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
若 b 0, 可分离变量的微分方程. 若 b 0, a1 0, 令 z ax by , dy 1 ( dz a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程. b dx c1
ln ln u 1 ln x ln C , 即 Cx ln u 1 ,
故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
例4 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线 反射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,