第1章 控制系统的状态空间表达式1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令θ(s)=y ，则y =x 1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[ x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6•]=[ 01000000K b J 200000−K p J 1−K n J 11J K p J 100100000−K 100K 1−K 1p−K 1p ][ x 1x 2x 3x4x 5x 6]+[ 00000K 1K p ]uy =[100000][ x 1x 2x 3x 4x 5x 6]1-2有电路如图1-28所示。

以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。

L1L2U图1-28 电路图解：由图，令i 1=x 1,i 2=x 2,u c =x 3，输出量y =R 2x 2 有电路原理可知：R 1x 1+L 1x 1•+x 3=uL 2x •2+R 2x 2=x 3x 1=x 2+Cx 3•既得 x 1•=−R1L 1x 1−1L 1x 3+1L 1ux •2=−R 2L 2x 2+1L 2x 3 x 3•=−1C x 1+1C x 2y =R 2x 2写成矢量矩阵形式为：[ x 1。

x 2。

x 3。

] =[−R 1L 10−1L 10−R 2L 21L 21C−1C 0][x 1x 2x 3]+[1L 100]u y =[0R 20][x 1x 2x 3] 1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.解:以弹簧的伸长度y 1，y 2 质量块M 1， M 2的速率c 1，c 2作为状态变量 即 x 1=y 1，x 2=y 2，x 3=c 1，x 4=c 2根据牛顿定律，对M 1有：M 1dc1dt =f 1-k 1(y 1-y 2)-B 1(c 1-c 2) 对M 2有：M 2dc2dt =f 2+k 1(y 1-y 2)+B 1(c 1-c 2)-k 2y 2-B 2c 2将x 1,x 2,x 3,x 4代入上面两个式子，得 M 1ẋ3=f 1-k 1(x 1-x 2)-B 1(x 3-x 4) M 2ẋ4=f 2+k 1(x 1-x 2)+B 1(x 3-x 4)-k 2x 2-B 2x 4B 1\y 2 c 2 y 1 c 1f 2(t)M 2M 1f 1(t) B 2 K 2K 1整理得 ẋ1=x 3ẋ2=x 4ẋ3=1M 1f 1-k 1M 1x 1+k 1M 1x 2-B 1M 1x 3+B1M 1x 4ẋ4=1M 2f 2+k1M 2x 1-k 1+k 2M 2x 2+B1M 2x 3-B 1+B 2M 2x 4输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 4 1-4两输入u 1，u 2，两输出y 1，y 2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

1u 2u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示：[ẋ1ẋ2ẋ3ẋ4]=[0100−a 2−a 10−a 610010−a 5−a 4−a 3][x 1x 2x 3x 4]+[00b10000b 2]u y =[10000010][x 1x 2x 3x 4](sI −A)=[s −100a 2s +a 10a 6−10s −10a 5a 4s +a 3]W ux (s)=(sI −A)−1B =[s −100a 2s +a 10a 6−10s −10a 5a 4s +a 3]−1[00b10000b 2] W uy(s)=C(sI −A)−1B =[10000010][s −100a 2s +a 10a 6−10s −10a 5a 4s +a 3]−1[00b10000b 2]2161216345431000[]1010sa s a a X X I s X X a a s a -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥+⎣⎦[000a 6][X 21X 22X 23X 24]=I 4 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述(1)y …+5y ..+7y .+3y =u .+2u (2)y …+5y ..+7y .+3y =u ..+3u .+2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。

(1) 解:由微分方程得：系统的传递函数为W （s ）=3s 752s s s23++++则状态空间表达式为：[x 1.x 2.x 3.]=[010001−3−7−5][x 1x 2x 3]+[001]u y =[210][x 1x 2x 3]相应的模拟结构图如下：(2) 解：由微分方程得：系统的传递函数为W （s ）=3s 752s 3s ss232+++++则状态空间表达式为：[x 1.x 2.x 3.]=[010001−3−7−5][x 1x 2x 3]+[001]u y =[231][x 1x 2x 3]相应的模拟结构图如下：1-6已知系统传递函数(1)W(S)=10(S−1)S(S+1)(S+3) (2)W(s)=6(s+1)s(s+2)(s+3)2 ，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图（本题答案方法不对，正确思路：使用教材P41方法，专门用来把传递函数转化为约旦标准型）解：(1)由W(S)=10(S−1)S(S+1)(S+3)可得到系统表达式为[x1x2x3]=[0100010−3−4][x1x2x3]+[1]uy=[−10100][x1x2x3]求得A的特征矢量p1=[1−11],p2=[1−39],p3=[]则可构成变换矩阵TT=[p1p2p3]=[110−1−30190]求得T的逆矩阵MM=[0−3213161341]计算得到变换都各矩阵分别为J=[11000100−3]M×B=[−121613]C×T=[−20−400](2)W(s)=6(s+1)s(s+2)(s+3)2=−4(s+3)2+−103s+3+3s+2+13s[ẋ1ẋ2 ẋ3 ẋ4]=[−31000−30000−200000][x1x2x3x4]+[111]uy=[−4−103313][x1x2x3x4]1-7给定下列状态空间表达式[ẋ1ẋ2ẋ3]=[010−2−30−11−3][x1x2x3]+[12]uy=[001][x1 x2 x3 ]（1）画出其模拟结构图X3X2X1u X4X3X2X1y（2） 求系统的传递函数 解：(2) W(s)=(sI −A)=[s −102s +301−1s +3]|sI −A |=s(s +3)2+2(s +3)=(s +3)(s +2)(s +1) (sI −A)−1=1(s+3)(s+2)(s+1)[(s +3)2s +30−2(s +3)s(s +3)0−s −5s −1(s +1)(s +2)]()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=-=-)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)()(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI s W ux[])1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=+++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s W uy 1-8求下列矩阵的特征矢量：（1）A=[−21−1−2] 解：A 的特征方程：|λI −A |=[λ+2−11λ+2]=λ2+4λ+5=0解之得：λ1=-2+j ，λ2=-2-j;当λ1=-2+j 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2112[p 11p 21]=（-2+j)[p 11p 21] 解得：p 11=-j p 21,令p 11=1，得P 1=[1j ]；当λ2=-2-j 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2112[p 12p 22]=（-2-j)[p 12p 22] 解得：p 22=-j p 12,令p 12=1，得P 2=[1-j ]（2）A=[1−6−5] 解：A 的特征方程：|λI −A |=[λ−16λ+5]=λ2+5λ+6=0解之得：λ1=-2，λ2=-3;当λ1=-2时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5610[p 11p 21]=-2[p 11p 21] 解得：p 21=-2p 11,令p 11=1，得P 1=[1-2]；当λ2=-3时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5610[p 12p 22]=-3[p 12p 22] 解得：p 22=-3p 12,令p 12=1，得P 2=[1-3]（3）A =[010302−12−7−6] 解：A 的特征方程 |λI −A |=[λ−10−3λ−2127λ+6]=λ3+6λ2+11λ+6=0解之得：λ1=−1,λ2=−2,λ3=−3当λ1=−1时，[010302−12−7−6][p11p21p31]=−[p11p21p31]解得：p21=p31=−p11令p11=1得P1=[p11p21p31]=[1−1−1]（或令p11=−1，得P1=[p11p21p31]=[−111]）当λ1=−2时，[010302−12−7−6][p12p22p32]=−2[p12p22p32]解得：p22=−2p12,p32=12p12令p12=2得P2=[p12p22p32]=[2−41]（或令p12=1，得P2=[p12p22p32]=[1−212]）当λ1=−3时，[010302−12−7−6][p13p23p33]=−3[p13p23p33]解得：p23=−3p13,p33=3p13令p13=1得P3=[p13p23p33]=[1−3 3]（4）A=[12−1−10−1 445]解：A的特征方程|λI−A|=[λ−1−211λ1−4−4λ−5]=λ3−6λ2+15λ−10=0解之得：λ1=1,λ2=5+√15j2,λ3=5−√15j2(1)当λ1=1时，[12−1−10−1445][p11p21p31]=[p11p21p31]解得： 令p 11=3 得 P 1=[p 11p 21p 31]=[3−1−2](2)当λ2=5+√15j 2时， [12−1−10−1445][p 12p 22p 32]=5+√15j2[p 12p 22p 32]解得： 令p 22=1 得 P 2=[p 12p 22p 32]=[3−3√15j 21−4]？(3)当λ3=5−√15j 2时，[12−1−10−1445][p 13p 23p 33]=5−√15j2[p 13p 23p 33]1-9试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。