3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性； 另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。 3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： (1) 或 (2) 式中
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
能控性的定义 线性定常系统的能控性判别 线性连续定常系统的能观性 离散时间系统的能控性与能观性 时变系统的能控性与能观性 能控性与能观性的对偶关系 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 线性系统的结构分解 传递函数阵的实现问题 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
(12)
3.7.2 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即
有：
系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。
状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标 准 型，它们分别与能控标准 1．能观标准 型 若线性定常系统： (13) 是能观的，则存在非奇异变换： (14) 型和能控标准 型相对偶。
5)如果 6)如果
是能控状态，则 和
也是能控状态， 是任意非零实数。 也必定是能控状态。
是能控状态，则
7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成
状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间， 记为 。
2．线性连续时变系统的能控性判别 时变系统的状态方程如下： (1)
系统在
对多输入系统，其状态方程为： 式中,B 为 阶矩阵； 为 r 维列矢量。
(15)
其能控的充分必要条件是矩阵： 的秩为 。
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.1能观性定义 能观性所表示的是输出 出方程出发，即 (1) 如果对任意给定的输入 期间的输出 ，在有限观测时间 ,使得根据 ，则称状态 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 反映状态矢量 的能力，与控制
3.4 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下： (1) 当系统为单输入系统时，式中 列矢量；G为系统矩阵 3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。 (2) 式中, 为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。 ； 为标量控制作用．控制阵 为状态矢量 。 为 维
能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制 绝对平方可积的，即 ，在数学上要求其元在 区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 转移到 目标状态(原点)的时刻。 3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。
3.6.1 线性系统的对偶关系
有两个系统，一个系统 为：
另一个系统
：为：
若满足下述条件，则称
与
是互为对偶的。
式中，
为 维状态矢量； 为 各为 与
各为r与m维控制矢量； 系统矩阵； 各为， 维输出矩阵。
各为 与 ，
与 维输出矢量； 维控制矩阵；
3.6.2 对偶原理 系统 则 的能控性等价于 者说，若 全能控的)。 和 的能观性， 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是互为对偶的两个系统， 的能观性等价于 的能控性。或 是状态完全能观的(完
根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出 一地确定任意初始状态矢量 导能观性条件。从式(1)，有：
，就能唯
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
(3) 若系统能观，那么在知道 出 ， 时，应能确定 ，现从式(7)可得：
写成矩阵形式：
(4)
有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为
判别法之间的关系
众所周知，一个矩阵：
式中，
为列矢量，当且仅当由 为非奇异时，
构成的格拉姆矩阵 列矢量是线性无关的。现在
因此，有 奇异等价。
这个矩阵的列矢量线性无关与
非
3.6 能控性与能观性的对偶关系
能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确
定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的 分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。
3.6.3 时变系统的对偶原理
时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复 杂得多。 对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以
把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到
其对偶系统能观性方面的结论。
3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性
和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。 3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按 能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、 能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成 相应的子系统。
的各项系数。
2.能控标准
型 (6)
若线性定常单输入系统：
是能控的，则存在线性非奇异变换： (7) 相应的状态空间表达式(6)转换成： (8) 其中
(9)
(10) 并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 式(9)中的 型。 是系统特征多项式：
(11)
的各项系数，亦即系统的不变量。 式(11)中的是 相乘的结果，即：
型，∑的状态空间
式中，
为系统
为系统
的能控标准II型对应的系数阵；
的能控标准I型对应的系数阵； 的能控标准 型对应的系数阵。
为系统 的对偶系统
2．能观标准 型 若线性定常单输出系统：
(20) 是能观的，则存在非奇异变换
(21)
使其状态空问表达式(20)变换为：
其中
(22)
(23)
(24) 称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。
这时式(2)用房承租形式表示，可有：
(3)
(4)
从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：
(2)A 为约旦标准型矩阵 以三阶为例：
这时，状态方程的解为：
从而
(5)
由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t ) 中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。 2．直接从A、C阵判断系统的能观性 约旦标准型 系统具有串联型 的结构，如图所示：
测的。
5)如果 和 都是不能观的，则 也是不能观的。
6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子
空间，称为不能观子空间，记为
。只有当系统的不能观子空问
。在状
态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。
2．线性连续时变系统能观性判别 时变系统 (4) 在 上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵 (5) 为非奇异的。 3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的
是能控的，而
维子系统：
是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 作用， 仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 可得到一个低维的能控系统。
不起
维子系统，便
至于非奇异变换阵： (7) 其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 能控性矩阵M中的 确保 个线性无关的列，另外的 个列 为非奇异的条件下，完全是任意的。 是 在
3.7.1 单输入系统的能控标准艰 对于一般的 维定常系统：
如果系统是状态完全能控的，即满足： 1．能控标准 型
若线性定常单输入系统： (1) 是能控的，则存在线性非奇异变换：
(2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)
使其状态空间表达式(1)化成： (4) 其中
(5)
称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准 型。其中 ， 为特征多项式：
使其状态空间表达式(13)化成： (15) 其中
(16)
(17) 称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 型。其中 是矩阵A的特征多项式的各项系数。
(18)
取变换阵
：
(19)
直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下： 首先构造 的对偶系统
然后写出对偶系统 表达式的能观标准 型即是
的能控标准 的能控标准 型，即
维不能观测的子系统，便得到一个 。
非奇异变换阵
是这样构成的，取
(14)
3.8.3
按能控性和能观性进行分解
1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能
控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、
不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这 四个部分的。
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。 (3)
(4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为： (6) (7) 2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为： (8) (9) 3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素
却为0，其微分子方程组为：
(10) (11) 2．具有一般系统矩阵的多输入系统 系统的状态方程为：
(12)
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统
线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵： (14)