三维图形变换
三、重点难点： • 重点：三维图形的平移变换，比例变换， 对称变换，旋转变换，复合变换。 • 难点：理解三维复合变换。 四、外语词汇： Translation，Rotation，Scale，Mirror 五、作业与上机练习： 课本：P146（3、5）上机。其他练习。
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4、进行图形绕直线即绕z轴旋转，旋转矩阵是：
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5、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕指定直线旋 转变换后的图形。 直线回到原来位置需要进行（3）～（1）的逆变换，其中：
图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是
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类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤：
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■平面几何投影
投影变换 就是把三维立体（或物体）投射到投影 面上得到二维平面图形。 平面几何投影 主要指平行投影、透视投影以及 通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平 面图形：三视图、轴测图。 观察投影 是指在观察空间下进行的图形投影变 换。
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5
投影中心、投影面、投影线：
Tt
1
Ts1
平移的逆变换
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1 a 0 0 0
0 0 1 0 e 1 0 i 0 0
0 0 0 1
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局部比例逆变换
T
1 RZ
cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 0 0 0 0
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1、平移使点（x1,y1,z1）位于坐标原点，变换矩阵是：
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2、绕x轴旋转，使直线处在x-z平面上。为此，旋转角应等 于直线在y-z平面上的投影与z轴夹角。因此投影线与z轴夹 角θ的旋转变换矩阵是：
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3、绕y轴旋转，使直线与z轴重合。如图所示，直线与z 轴夹角-φ的旋转变换矩阵是：
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1 0 TFy 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 1 TFz 0 0 0 0
关于z轴对称
0 0 1 0
0 0 0 1
关于y轴对称
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错切变换
1 0 Tv 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
只需要消去各点的y坐标，即令单位矩阵中元素e=0。
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俯视图的变换矩阵：
Txoy
1 0 TRx 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1
图5-5 平移变换
12
比例变换
a 0 Ts 0 0
0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
局部比例变换
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例：对如图 5-6 所示的长方形体进行比例变换，
其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体 各点坐标。
z
2 E F 2 B x A C x 3 G D y 1 H
平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
投影方向
投影方向
投影平 面法向
投影平面 (a)正投影
a
投影平面 (b)斜投影
投影平 面法向
5-11 平行投影
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■正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测图。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图； 否则，得到的投影为正轴测图。
z z
投影方向
0 sin 1 0 0 0 cos 0
0 0 0 1
X
z
y
绕y轴旋转
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对称变换
1 0 TFxy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 TFyz 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
z
1 1 y
图5-6 比例变换
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0 1 / 2 0 0 1/ 3 0 B' 2 0 0 1 0 0 1/ 2 0 0 0 0 1 / 2 0 0 1/ 3 0 G ' 2 3 2 1 0 0 1/ 2 0 0 0
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相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换
的过程分为以下三步：
(1)将参考点F移至坐标原点
(2)针对原点进行三维几何变换
(3)进行反平移
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例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换
z z z z
(x',y',z')
①使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平 移变换。 ②使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换， 且旋转变换可能不止一次。
③针对该坐标轴完成变换。
④用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。
⑤用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。
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5.3图形的投影变换 5.3.2 平行投影
关于xoy平面对称
关于yoz平面对称
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TFzx
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 TFx 0 0 1 0 0 0
关于x轴对称
0 0 0 1
关于zox平面对称
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主视图
总结：
侧视图 三视图 俯视图 正投影 正轴测 正二测 平行投影 正等测
斜等测
平面几何投影 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影 二点透视 三点透视
正三测
图5-3 平面几何投影的分类
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用户坐标系中的几何形体
观察空间的定义
■观察投影
用户坐标系到 观察坐标系的转换 观察坐标系中的三维形体 规范化投影变换 规范化观察空间中的三维形体 三维裁剪 裁剪后的三维形体 正投影 二维坐标系下的图形 二维变换输出
0 0 0 1
TSHz
1 0 0 0
0 1 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
沿y方向错切
沿z方向错切
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逆变换
所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换
1 0 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
5.1 三维图形几何变换矩阵
■三维齐次坐标变换矩阵
a b d e T3 D g h l m
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c f i n
p q r s
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■几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形。 •点的矩阵变换
•线框图的变换
•用参数方程描述的图形的变换
A A' 投影线 投影中心 B' (a) 透视投影 B (b) 平行投影 线段 A' A 线 段 B' B
投影中心在 无穷远处
投影线
图5-1 线段AB的平面几何投影
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S
S
S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
图5-2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
TSH
1 b d 1 g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
TSHx
1 d g 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
一般形式
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沿x方向错切
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TSHy
1 0 0 0
b 1 h 0
0 0 1 0
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于是得：
1 0 TH TxoyTRxTtz 0 0
0 0 0 1 0 0 0 z0
0 0 0 1
旋转的逆变换
0 0 1 0
0 cos sin 0 0 0 1 0
sinቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
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■三维复合变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn )
(n 1)
绕任意轴的三维旋转变换
Y
P'
B
θ
[ x' y' z' 1] [ x y z 1] TRAB
A
P
Z
问题：如何求出为TRAB。
X
图5-9 P点绕AB轴旋转
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先将图形随直线（旋转轴）一起移动和旋转并 使直线与某一坐标轴重合，再将图形绕直线进行 旋转变换，最后将旋转变换后的图形和直线一起 作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。具 体变换步骤是：
0 0 1 0
0 0 0 1
X
z
y
绕z轴旋转
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TRX
0 1 0 cos 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
X