物流运输系统规划设计
6)最后看结点1。与结点1联接的路线有3条： 1至2再到终点的最短里程100+600=700，路 径为1-2-6-9-10；1至4再到终点的最短里程 150+500=650，路径为l-4-6-9-10。1至3再到 终点的最短里程175+600=775，路径为1-3-58-10。 三个里程中以650为最小，这就是从A市到B 市的最短里程，而对应的最短路线为1-4-6-910。
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2)再看结点6，与6联接的只有一个结点9，因 此最短路线为6-9，6至9的里程为200。而9 至终点10的最短里程为100，因此6至终点的 最短里程为200+100=300。记入方式同上： (6-9-10)300。 3)再看结点5，与5联接的结点有9、8两个，5 至9再至终点的最短里程为400+100=500，5 至8再至终点的最短里程为250+155=400。 400<500，所以5至终点的最短里程为400， 记为(5-8-10)400。 结点7至终点的最短里程为125+150=275，记 入方式同上：(7-8-10)275。
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•图 8 调运流向图
• 根据上面流向图的作法，所得的没有对流现象的流向图是惟一的，再 根据对流现象是不合理的运输，所以这惟一没有对流的流向图就是惟一的 最优方案的流向图。 • 有时同一流向图，可以编制各种不同的调运方案。例中，B3需要的3 万吨，除A4供给的2万吨外，其余1万吨可以由给A3，也可以由给A2，也可 以由A2，A3，共同给。这些方案所用的运输力是一样的，调运时可以结合 其他条件，选择其中一个。
问题：要求出从①点到⑥点的公路网络所能通 过的最大流量。
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图12标出了穿过该市从北往南的几条路 线。结点旁边的数字指明以每小时千辆汽车 为单位的该行车道的流量能力。
如1-2支线(行车道)上的6字表明这条行车 道通往结点2的流量能力为每小时6千辆。35支线上的5字表示每小时可以有5千辆汽车 从3向5开去。
5）总运输力为： 1×7+2×5+1×4+2×3+2×1=29吨·千米。
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物流系统规划之最短路
（1） 最短路线描述 例：某家运输公司签定了一项运输合同，要 把A市的一批货物运送到B市。该公司根据 这两个城市之间可选择的行车路线的地图， 绘制了图11的公路网络。图中，圆圈也称结 点，代表起点、目的地和与行车路线相交的 其他城市。箭矢或称为分支，代表两个结点 之间的公路，每一条公路上都标明运输里程。
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（2）其次把这条路线上每条支线的流量能力 减去2，差数则表示该支线剩余的流量能力， 将其写在原来的流量能力的旁边，并把原来 的流量划掉。把减数2写在每条支线的终点， 在减数2的右下角注上(1)，如2(1)，表示第一 条路线的流量能力为2千辆。标注方式如图 13所示。
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2、例题 美国北卡罗来纳州杜哈姆市周围从北到南的交
通，平时是利用85号公路通行的。后来，有两个星 期因为85号公路要进行路面维修，车辆不能行驶， 因而北卡罗来纳州公路委员会的工程技术人员需要 查明，穿过杜哈姆市区的几条路线，是不是有把握 让每小时6 000辆汽车穿过，这些汽车在正常情况 下，是利用85号公路南驶的。
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•图7 交通路线图
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解：
作一个没有对流的流向图。作法：由各 端点开始，由外向里，逐步进行各收发点之 间的收发平衡。
把A1的5万吨给A2，A2成为有发量7万吨 的发点。由A3调1万吨给B2，A3剩2万吨， 由A4调5万吨给B4，A4剩2万吨。将A2的7 万吨全部调给B1，将A3剩余的2万吨，先调 1万吨给B1，余下的1万吨调给B1，剩余的2 万吨全部调给B3，调运流向图如图8。
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b)交通路线成圈 例：有某物资7万吨，由发点A1，A2，
A3 发出，发量分别为3，3，1(万吨)，运往 收点B1，B2，B3，B4，收量分别为2，3， 1，1(万吨)，收发量平衡，交通图如图9所 示，问应如何调运，才使吨·千米最小。
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•图9 交通路线图
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解： 1)作一个没有对流的流向图，用“去线破圈”的方 法：去一线破一圈，有几个圈去掉几条线，把有圈 的交通图，化为不成圈的交通图。一般是先去掉长 度最长的交通线，比如，去掉A1-B4(7千米)，破 A1-B1-B2-A3-B4圈，再去掉线A3-B3(4千米)，破 圈B2-A2-B3-A2。这样，原来有圈的交通图，变成 了不成圈的交通图．如图9所示。
然后先从各个端点开始，在图9上作一个没有对 流的流向图。
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•图9 调运流量图破圈
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2)检查有无迂回。方法是对流向图中的各圈 进行检查，看看有无迂回。如果没有迂回， 这个初始方案就是最优方案，如果其中某一 圈有迂回，这个方案就不是最优方案，需要 改进。
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•
图11 公路网络
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可以看出，从A市出发到达B市，可以有很多 条路线可供选择。但是如何选择运输路线， 才能使总路程的长度最短呢? 该公司的目的 就是要找出从A市到B市的最短路线。 这就是运输规划中的最短路问题。
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解：最短路线的计算方法为： 1)从终点开始逐步逆向推算，与终点10联接 的有两个结点，即9和8，B市先从9开始计 算。9到10只有一条路线，因此没有选择的 余地，9-10就是最短的路线，它的里程为 100，记为(9-10)100。同样8-10也只有一条 路线，最短路线为8-10，里程为150，也按 相同方式记为(8-10)150。
在物资调运中，运输路线可分为两种情 况：一是交通路线不成圈，一是交通路线成 圈。下面分别介绍这两种情况物资调运的方 法。
a) 交通路线不成圈 例3 物资17万吨，由A1，A2，A3，A4
发出，发量分别为5，2，3，7(单位：万吨)， 运往B1，B2，B3，B4，收量分别为8，1，3， 5(单位：万吨)，收发量是平衡的，它的交通 路线如图7所示，问应如何调运，才使运输 吨·千米最小。
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•
图3 迂回运输图
•图4 无迂回运输图
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如果改成图4，就消灭了迂回，可以节省运 输力量（5×6）-（5×4）=l0吨·千米。
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迂回流向图示例
•图5 迂回运输 •内流长7大于全圈长13的一半，是迂回运输。
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调整：
如果调整内圈长(在内圈各流量中减去内 圈的最小流量10)。在外圈各流量中增加内 圈的最小流量10，同时在没有流量的线段上 新添上外圈流量10(即内圈的最小流量)，便 得出新的流向圈，如图6。
•图6 无迂回运输
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4）运输线路选择图上作业法 物资调运问题的图上作业法，就是为了
消灭运输中对流和迂回，节省运输力量。 一般步骤： 先找出一个没有对流的方案，再检查有
没有迂回？如果没有迂回，这方案已是最优 方案。如果有迂回，则调整这一方案，直至 消灭迂回为止。
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•
图13 最大流量计算图
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(3)另选一条从起点到终点的路线，如1-4-6， 以该路线上最小的流量能力3为减数，来减 各条支线上的流量能力，其差数、减数的记 入方法同上。在差数3的右下角注上(2)，表 示第二条路线的流量能力为3千辆。
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(4)再选一条从起点到终点的路线，如1-3-4-6， 以该路线上最小的流量能力3为减数来减各 条支线上的流量能力，其差数、减数的记入 方式同上。但4-6支线的流量能力已经只剩 下4，再减去3，差数为1，接续写在4的旁边， 表示4-6支线的流量能力只剩余1千辆，同时 划掉4，再记入本路线的差数3(3)，表示第三 条路线的流量能力为3千辆。
• 图2 消灭了对流的调运流量图
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b)迂回 在交通图成圈的时候，由于表示调运方向
的箭头，要按调运方向，画在交通线的右边， 因此，流向图中，有些流向就在圈外，称为 外圈流向。如图3；有些流向就在圈内，称 为内圈流向，如图4。
如果流向图中，内圈流向的总长(简称内 流长)或外圈流向的总长(简称外流长)超过整 个圈长的一半，就称为迂回运输。
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•
图10 调整后的流量图
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4）分析 新的流量图中，在A1-B1-B2-A3-B4圈内，内 流长为：4+7=11千米，外流长为：5千米， 都不超过全圈长(23千米)的一半； 在B2-A2-B3-A3圈内，内流长为3千米，外流 长为4+2=6千米，也都没有超过全圈长(13千 米)的一半，因此，这个流向图没有迂回现 象，是本问题的最优调运方案。
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• 图12 交通路线图
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解： (1)任意选择一条从起点①到终点⑥的路线， 例如，我们选择路线l-2-5-6。首先找出这条 路线上流量能力最小的支线，即5-6支线， 其流量能力为2。这就表明，沿1-2-5-6支线 南驶的汽车，其每小时的最大流量只能是2 干辆，因为5-6支线限制了全线的车流量。
在图9中，圈A1-B1-B2-A3-B4的总长为23千米， 外流长为5+4+3=12千米，大于圈长的一半， 因而需要调整。再看圈B2-A2-B3-A3，其总长 为13千米，圈中内流长为3千米，外流长为2 千米，都小于圈长的一半，因此，此圈不必 调整。
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3）调整 对圈的调整方法是：在外圈的各流量中，减 去外圈的最小流量1万吨；然后在内圈的各 流量中加上1万吨；另外，再在无流量的线 段上，新添上内圈流量1万吨，这样得出新 的流量图，如图10所示。