20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
其误差不超过 105 .
二、计算定积分
例如函数 ex2 , sin x , 1 , 原函数不能用初等 x ln x
函数表示, 难以计算其定积分.
例1 计算e的近似值,使其误差不超过105.
解 e x 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
令 x 1, 得 e 1 1 1 1 ,
2!
n!
余和:
rn
1 1 (n 1)! (n 2)!
1 (1 1 ) (n 1)! n 2
(n
1 (1 1)!
1 n
Ree
) 2(cos i sin ) x 44
1(n1 1)2)1 n n!
欲使 rn 105 ,
即 n n! 105 ,
只要 1 105 , n n!
而 8 8! 322560 105 ,
e 11 1 1 1
2! 3!
8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
一、近似计算
A a1 a2 an , A a1 a2 an , 误差 rn an1 an2 .
两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数.
常用方法:
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
练习题
一、利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:
1、ln 3 (精确到0.0001 )； 2、cos 2 (精确到0.0001 ).
二、利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分
0.5 arctan x dx
(精确到0.001 )的近似值 .
0
x
三、将函数e x cos x 展开成 x 的幂级数 .
练习题答案
一、1、1.0986； 2、0.9994.
二、0.487.
三、e x cos x
22
cos
n
xn
(,) .
n0
4 n!
(提示: e x cos x Re e(1i)x
解法 被积函数
定积分的近似值
展开成幂级数
逐项积分
例 (P219 2.(2))
计算
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精确到104.
解 sin x 1 1 x2 1 x4 1 x6 x (,)
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,