将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →
α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n − 1) 2 x +L x +L+ 2! n! ∞ α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n x∈(−1, 1) ∈− x =∑ n! n=0
牛顿二项式展开式
当α = −1时, 时
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· x∈ (−1, 1). − − ∈ − 1+ x
§7.7 初等函数的幂级数展开式
直接法(泰勒级数法 泰勒级数法) 一、直接法 泰勒级数法 二、间接法 三、常见函数的幂级数展开式
直接法(泰勒级数法 泰勒级数法) 一、直接法 泰勒级数法 利用泰勒公式 麦克劳林公式将 泰勒公式或 利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数 展开为幂级数 (1) 求 f (n)(x), n=0,1,2, ⋅⋅⋅ 步骤: 步骤 ( n) f ( x0 ) (2) 计算 an = , n=0,1,2, ⋅⋅⋅ n! ∞ f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n (3) 写出幂级数 ∑ n! n! n =1 并求出其收敛区间. 并求出其收敛区间 ? (4) 讨论 lim Rn ( x ) = 0
α ≤ −1, 收敛区间为 (−1, 1). 收敛区间为: − 收敛区间为: − −1<α <0, 收敛区间为 (−1, 1]. α >0, 收敛区间为 [−1, 1]. 收敛区间为: −
所以(1+x)α 的泰勒级数的收敛区间是 −1, 1), 的泰勒级数的收敛区间是(− 所以
α=1+αx+ α (α (1+x)
x
的幂级数. 例5 将下列函数展开成 x的幂级数 的幂级数 1 (1) (2) arctan x 2 1+ x 1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· x∈(−1,1). − − ∈− 解 因为
1+ x
(1) 以x2 代替上式中的 x ,
∞ 1 2 +x4 −x6+···+(−1)nx2n +··· = (− x 2 )n − − ∑ 2 =1−x 1+ x n= 0 x∈ (−1, 1). ∈ − 1 , 对上式逐项积分 (2) 因 (arctan x )′ = 对上式逐项积分 2 1+ x ∞ x x dt = ∑ ∫ (−1)nt 2n dt − arctan x = ∫ 2 0 0 1+ t n= 0
(n+1)
eθ x f (θ x ) n + 1 x n+1 0<θ <1 = 其中 R n ( x ) = x ( n + 1)! ( n + 1 )! θ x e | x |n + 1 lim | R n ( x ) |= lim | x n + 1 | = e θ x lim n→ ∞ n → ∞ ( n + 1 )! n → ∞ ( n + 1 )! =0, ⇒ lim R n ( x ) = 0

1 3 1 5 x 2n+1 s in x = x − x + x − L + ( − 1 ) n +L 3! 5! ( 2 n + 1 )!
逐项求导得 对上式逐项求导 对上式逐项求导得 x∈(−∞ +∞). ∈ −∞ ∞ −∞,
1 2 1 4 x 2n cos x = 1 − x + x − L + ( −1) n +L 2! 4! ( 2n)!
一、泰勒公式 定理1 泰勒中值定理 若函数f(x)在x0点的某邻域 泰勒中值定理) 定理 (泰勒中值定理 若函数 在 Uδ (x0)内具有直到 内具有直到n+1阶连续导数 则当 取Uδ (x0) 阶连续导数, 内具有直到 阶连续导数 则当x取 内任何值时 可按(x− 的方幂展开为 内任何值时, f (x)可按 −x0)的方幂展开为 可按 f ′′ ( x 0 ) f (x)=f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+ − ( x − x0 )2 2! (n) f ( x0 ) n ( x − x 0 ) +Rn(x) (1) L + + n! n! f ( n + 1 ) (ξ ) 之间) 之间 Rn ( x ) = ( x − x 0 ) n + 1 (ξ 在x0与x之间 其中 ( n + 1 )! 公式(1)称为函数 泰勒公式. 公式 称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式 在 处的泰勒公式 Rn(x)称为拉格朗日 称为拉格朗日 余项. 称为拉格朗日(Lagrange)余项 余项 f (k ) ( x0 ) 泰勒系数 a k = k=0, 1, 2, ···, n 是唯一的 是唯一的. k!
α (α − 1) 2 α (α − 1)L (α − n + 1) n (1 + x ) = 1 + α x + x +L+ x +L 2! n! ∞ α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n x =∑ −1<x<1 n! n=0
α
α ≤ −1, 收敛区间为 (−1, 1). 收敛区间为: − 收敛区间为: − −1<α <0, 收敛区间为: (−1, 1]. α >0, 收敛区间为 [−1, 1]. 收敛区间为: −
∞ 1 2 1 n xn x +L=∑ 所以 e x =1+x+ x + L + 2! n! n = 0 n! −∞<x<+∞. −∞ ∞
n→ ∞
二项展开式
n( n − 1) n− 2 2 ( a + b ) = a + na b + a b +L 2! n(n − 1)L ( n − k + 1) n− k k a b + L + nab n − 1 + b n + k!
1 =1+x+x2+···+xn+··· = 1− x
∑
∞
x n (−1<x<1) −
∞
n=0
xn 1 2 1 n x e = 1+ x + x +L + x +L = ∑ 2! n! n! n = 0 n! x∈(−∞ +∞). −∞, ∈ −∞ ∞
1 3 1 5 x 2n+1 x − x + x − L + ( − 1)n +L sin x = 3! 5! ( 2 n + 1 )! ∞ x 2n+1 x∈(−∞ +∞). ∈ −∞, ∞ −∞ = ∑ ( − 1)n ( 2 n + 1 )! n=0
二、泰勒级数 如果函数f 在 的某邻域内是存在任意阶导 定义 如果函数 (x)在x0的某邻域内是存在任意阶导 数, 则幂级数 ∞ f (n) ( x0 ) n − ∑0 n ! ( x − x 0 ) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) n= f ′′ ( x 0 ) f (n) ( x0 ) + ( x − x 0 ) 2 L + ( x − x0 )n + L + 2! n! n! 称为函数f 在 处的泰勒级数 泰勒级数. 称为函数 (x)在x0处的泰勒级数
的幂级数. 例3 将 f(x)=(1+x )α 展开成 x的幂级数 的幂级数 ⋅⋅⋅( ⋅⋅⋅ 解 [(1+x)α](n) =α(α−1)(α−2)⋅⋅⋅ α−n+1)(1+x)(α− n) , ⋅⋅⋅( f (n)(0)=α(α−1)(α−2)⋅⋅⋅ α−n+1) ⋅⋅⋅ 得 ∑
∞
n=0,1,2,⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅