n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
利用此题可得
将函数 为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中α
二项展开式
说明：
(1)当α不是正整数时，收敛区间为(-1,1).在 x =±1 处的收敛性与 α 有关 .
(2) 当 α 为正整数时, 级数为 x 的 α 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
§11.4 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数 展开
本节内容: 一、幂级数展开式的唯一性 二、函数的泰勒级数 三. 将函数展开为幂级数
一、幂级数展开式的唯一性
定理1（幂级数的唯一性）
设幂级数 an xn a0 a1x a2 x2 an xn
n0
在区间 ( , )上的和函数为 f (x)，即
则 有an
1 n!
f
(n) ( x0 )
,
(n
n0
0,1,2,)
二、泰勒级数
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时，称之为麦克劳林级数
).
f ( x) a1 2a2 x nanxn1 ; a1 f (0)
f ( x) 2!a2 n(n 1)anxn2 ;
a2
1 2!
f (0)
f (n) ( x) n!an ;
显然结论成立 .
an
1 n!
f (n) (0)
同 理 若 在 点x0 的 某 邻 域 内 f ( x) an( x x0 )n
逐项求导可推出:
例4. 同理可得下列展开式
（代入法）
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
ln(1 x)
x
(1)n xn dx
(1)n xn1 , 1 x 1
n0
0
n0 n 1
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 .
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
定理2 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x
)
0
.
证明:
f (x)
n0
f (n) ( x0 )( x n!
x0 )n
,
x ( x0 )
令
Sn1( x)
n k0
f
(k) ( x0 )( x k!
x0 )k
f ( x) Sn1( x) Rn( x)
lim
n
Rn (
x)
lim
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)Fra bibliotek故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
例2. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
判别在收敛区间(－R,
R)
内
lim
n
Rn
(
x)是否为
0.
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1 (n 0,1,), 故得级数
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
对应
1 2
,
1 2
,1的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
f (x) a0 a1x a2x2 an xn
则
an
f (n) (0) n!
(n 0,1, 2
).
证: 将 x 0 代入幂级数得 a0 f (0) ，
对幂级数两边逐项各阶导数得
f (x) a0 a1x a2x2 an xn
则
an
f (n) (0) n!
(n 0,1, 2
n1
2 (2n)!
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
n
f
(x)
Sn1( x)
0
,
x ( x0 )
三、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法（麦克劳林级数）
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;