万有引力和航天
一. 天体运动：
1. 开普勒行星运动规律：
（1） (2) (3)
二. 万有引力定律：
①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成__________，与它们之间的距离________的二次方成反比。

即：___________ 其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 2
②适用条件
（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。

（Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。

③运用
（1）万有引力与重力的关系：
重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。

忽略地球自转可得：
2. 基本问题是研究星体（包括人造星体）在万有引力作用下做匀速圆周运动。

基本方法：将天体运动理想化为匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供。

即：G ·M ·m /r 2=m ·v 2/r =________=_________=m ·r ·（2πf ）2
3. 绕中心星体的运动的快慢与绕行半径的关系：
（1）由G ·M ·m /r 2=m ·v 2/r 得v =M/r G ⋅，_______越大，v 越小。

（2）由G ·M ·m /r 2=m ·r ·ω2得3M/r G ⋅=ω，r 越大，______越小
（3）由G ·M ·m /r 2=m ·r ·（2π/T ）2得M G r T ⋅⋅=/422π，r 越大，___越大。

在地表附近，可以认为T =g R /2π=83. 7h 。

例题1.、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星距地面的高度等于R ，b 卫星距地面的高度等于3R ，则a 、b 两卫星周期之比=b a T T :_________。

练习：
1．有人发现了一个小行星，测得它到太阳的平均距离是地球到太阳的平均距离的8倍，则这颗小行星绕太阳的公转周期将是地球的公转周期的 倍
4．关于公式k T
R =23
中的常量k ，下列说法中正确的是 ( ) A ．公式适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星或卫星
B ．不同星球的行星或卫星，k 值不相等
C ：k 值是一个与星球无关的常量
D ．k 值是—个与星球有关的常量
2R Mm G mg =
5．银河系中有两颗行星绕某恒星运行，从天文望远镜中观察到它们的运转周期之 比为8：1，则
它们的轨道半径的比为 ( )
A ．2：1
B ．4：1
C ．8：1
D ．1：4
三. 重力和地球的万有引力：
1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：
（1）物体随地球自转的向心力：
F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。

由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。

（2）重力约等于万有引力：
在赤道处：
在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g +=。

强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。

2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。

即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2
练习：
7．地球对表面物体的万有引力与物体受到的重力大小近似相等，若已知地球的质量M 、地球的半径R 和引力常量G ，则可求出地球表面的重力加速度g= ．
8．如图6—2—1所示，r 虽大于两球的半径，但两球的半径不能忽略，而球的质量分布均匀，大小分别为m 1与m 2，则两球间万有引力的大小为
( )
A ．221r m Gm
B ．21
21r m Gm C ．
22121)(r r m Gm + D ．22121)(r r r m Gm ++ 9．如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，那么下列说法中正确的是
( )
A ．行星受到太阳的万有引力，万有引力提供行星圆周运动的向心力
B ．行星受到太阳的万有引力，行星运动不需要向心力
C ．行星同时受到太阳的万有引力和向心力
D ．行星受到太阳的万有引力与它运行的向心力不相等
12．地球半径为R ，地面附近的重力加速度为g ，试求在离地面高度为R 处的重力加速度及质量为m 的物体在这—高度对地球的引力大小．
4. 中心天体质量M 和密度ρ的估算：
测量卫星绕天体匀速圆周运动的半径r 和周期T ，
由G ·M ·m /r 2=m ·r ·（2π/T ）2得M =_____________
再测量天体的半径，得到
ρ=M /V =M /（34π•R 3）=4π2•r 3/（G •T 2•3
4π•R 3）=______________ 若卫星绕天体表面圆周运动，则：ρ=___________
5计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法：
在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g
方法：
例题2、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ）
A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r
例题3、如图21所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( )
A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；
B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；
C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；
D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

5.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为 ( )
A ．π32GT
B ． 23GT π
C ．π42GT
D ．24GT π 6．一颗质量为m 的卫星绕质量为M 的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期
( )
A ．与卫星的质量无关
B ．与卫星轨道半径的3／2次方有关 2R Mm G mg =2')(h R Mm G mg +=2''''''R m M G mg
=
C ．与卫星的运动速度成正比
D ．与行星质量M 的平方根成正比
四、三种宇宙速度：
①第一宇宙速度（环绕速度）：人造地球卫星最小的发射速度，等于物体近地圆运动的运行速度。

推导：由G ·M ·m /R 2=m ·v 12/R 或m ·g =m ·v 12/R
得v 1=R g r M G ⋅=⋅/ =________km /s
②第二宇宙速度（脱离速度）：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

v 2=____________km /s
③第三宇宙速度（逃逸速度）：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

v 3=_______km /s
9. 常用结论：
（1“天上”万有引力提供向心力 2M ma=m m F G r πω⎛⎫= ⎪⎝⎭2
22v 2一条龙：＝=mr =mr r T （2）“地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝
例题、用m 表示地球同步通信卫星的质量、h 表示卫星离地面的高度、M 表示地球的质量、R 0表示地球的半径、g 0表示地球表面处的重力加速度、T 0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则：
（1）地球同步通信卫星的环绕速度v 为
A . ω0（R 0+h ）
B . h R GM +0
C . 30ωGM
D . 30
2T GM π （2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F 的大小为
A . m 20020)
(h R g R + B . m ω20（R 0+h ） C . m 300204ωg R D . m 340416T GM
π
（3）地球同步通信卫星离地面的高度h 为
A . 因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地面的高度就被确定
B . 30
2020ωg R －R 0 C . 2204πGMT －R 0 D . 地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地面的高度可以选择.
高度增加，环绕速度增大，高度降低，环绕速度减小，仍能同步。