复习二次函数一、选择题:1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( )A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线=xD. 直线2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点),(acb M 在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0<a ,0>+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac bB. 042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤04. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=cD. 9-=b ,21=c5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )D6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=xB. 2=xC. 1-=xD. 1=x7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2-B. 2C. 1-D. 18. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0<M ,0>N ,0>P C. 0>M ,0<N ,0>P D. 0<M ,0>N ,0<P 二、填空题:9. 将二次函数322+-=x x y 配方成kh x y +-=2)(的形式,则y =______________________.10. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点,那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是______________________.11. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-,则c a +=_________. 12. 请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质:_______________. 13. 已知二次函数的图象开口向上,且与y 轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_____________________. 14. 如图,抛物线的对称轴是1=x ,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点坐标是)0,3(,则A点的坐标是三、解答题:1. 已知函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式; (2)当0>x 时,求使y ≥2的x 的取值范围.2、如右图,抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ,与y 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式;(2)P 是y 轴正半轴上一点,且△P AB 是以AB 为腰的等腰三角形,试求点P 的坐标.3.如图,抛物线y 1=﹣x 2+2向右平移1个单位得到抛物线y 2,回答下列问题: (1)抛物线y 2的顶点坐标 ; (2)阴影部分的面积S= ;(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3,求抛物线y 3的解析式.4.(1999•烟台)如图,已知抛物线y=ax 2+bx+交x 轴正半轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ,且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线BC 的解析式.5.如图,抛物线y=x 2+bx ﹣c 经过直线y=x ﹣3与坐标轴的两个交点A ,B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线的顶点为D .O xy1-1B A(1)求此抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标.6.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA.(1)求抛物线的解析式;(2)若点C(﹣3,b)在该抛物线上,求S△ABC的值.7.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.(1)求抛物线顶点A的坐标及c的值;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状.8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?参考答案 一、选择题:二、填空题: 1. 2)1(2+-=x y2. 有两个不相等的实数根3. 14. (1)图象都是抛物线;(2)开口向上;(3)都有最低点(或最小值)5. 358512+-=x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或178712-+-=x x y 6. 122++-=x x y 等(只须0<a ,0>c ) 7. )0,32(-8. 3=x ,51<<x ,1,4 三、解答题:1. 解:(1)∵函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2),∴2139=-+b . 解得2-=b . ∴函数解析式为122--=x x y .(2)当3=x 时,2=y . 根据图象知当x ≥3时,y ≥2.∴当0>x 时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.2. 解:(1)由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .(2)∵点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1,OB =4. 在Rt △OAB 中,1722=+=OB OA AB ,且点P 在y 轴正半轴上.①当PB =P A 时,17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时点P 的坐标为)417,0(-.②当P A =AB 时,OP =OB =4 此时点P 的坐标为(0,4).3. 解:(1)设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++;5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a ∴t t s 2212-=.(2)把s =30代入t t s 2212-=,得.221302t t -= 解得101=t ,62-=t (舍去) 答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元. (3)把7=t 代入,得.5.10727212=⨯-⨯=s 把8=t 代入,得.16828212=⨯-⨯=s 5.55.1016=-. 答:第8个月获利润5.5万元.4. 解:(1)由于顶点在y 轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092+=ax y . 因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上,所以109)25(·02+-=a ,得12518-=a . 因此所求函数解析式为109125182+-=x y (25-≤x ≤25).(2)因为点D 、E 的纵坐标为209,所以10912518209+-=,得245±=x .所以点D 的坐标为)209,245(-,点E 的坐标为)209,245(. 所以225)245(245=--=DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225≈=⨯⨯(米). 5. 解:(1)∵AB =3,21x x <,∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x .∴11-=x ,22=x . ∴OA =1,OB =2,2·21-==amx x . ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ,∴1==OBOCOA OC . ∴OC =2. ∴2-=m ,1=a .∴此二次函数的解析式为22--=x x y .(2)在第一象限,抛物线上存在一点P ,使S △P AC =6.解法一:过点P 作直线MN ∥AC ,交x 轴于点M ,交y 轴于N ,连结P A 、PC 、MC 、NA . ∵MN ∥AC ,∴S △MAC =S △NAC = S △P AC =6. 由(1)有OA =1,OC =2. ∴6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM . ∴AM =6,CN =12. ∴M (5,0),N (0,10).∴直线MN 的解析式为102+-=x y .由⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y 得⎩⎨⎧==;4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x (舍去) ∴在 第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △P AC =6. 解法二:设AP 与y 轴交于点),0(m D (m >0) ∴直线AP 的解析式为m mx y +=.⎩⎨⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x .∴1+=+m x x P A ,∴2+=m x P . 又S △P AC = S △ADC + S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(21P x AO CD +. ∴6)21)(2(21=+++m m ,0652=-+m m ∴6=m (舍去)或1=m .∴在 第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △P AC =6.提高题1. 解:(1)∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点,∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根,即042=-c b . ① 又点A 的坐标为(2,0),∴024=++c b . ② 由①②得4-=b ,4=a .(2)由(1)得抛物线的解析式为442+-=x x y . 当0=x 时,4=y . ∴点B 的坐标为(0,4). 在Rt △OAB 中,OA =2,OB =4,得5222=+=OB OA AB .∴△OAB 的周长为5265241+=++.2. 解:(1)76)34()10710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .当3)1(26=-⨯-=x 时,16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S . ∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.(2)用于投资的资金是13316=-万元.经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取A 、B 、E 各一股,投入资金为13625=++(万元),收益为0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元);另一种是取B 、D 、E 各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为0.4+0.5+0.9=1.8(万元)>1.6(万元).3. 解:(1)设抛物线的解析式为2ax y =,桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米,则),5(h D -,)3,10(--h B .∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a∴抛物线的解析式为2251x y -=.(2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4(小时), 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时, 当2801404=⨯+x 时,60=x .∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时. 4. 解:(1)未出租的设备为10270-x 套,所有未出租设备的支出为)5402(-x 元. (2)54065101)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y . ∴540651012++-=x x y .(说明:此处不要写出x 的取值范围) (3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为37套;当月租金为350元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租32套;如果考虑市场占有率,应选择出租37套.(4)5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y . ∴当325=x 时,y 有最大值11102.5. 但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整数,故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元.16.如图,抛物线y 1=﹣x 2+2向右平移1个单位得到抛物线y 2,回答下列问题: (1)抛物线y 2的顶点坐标 (1,2) ; (2)阴影部分的面积S= 2 ;(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3,求抛物线y 3的解析式.考点:二次函数图象与几何变换.分析:直接应用二次函数的知识解决问题.解答:解:(1)读图找到最高点的坐标即可.故抛物线y2的顶点坐标为(1,2);(2分)(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2;(6分)(3)由题意可得:抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称.所以抛物线y3的顶点坐标为(﹣1,﹣2),于是可设抛物线y3的解析式为:y=a(x+1)2﹣2.由对称性得a=1,所以y3=(x+1)2﹣2.(10分)20.(1999•烟台)如图,已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A,B两点,交y轴于点C,且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线BC的解析式.考点:待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式.分析:根据抛物线的解析式,易求得C点的坐标,即可得到OC的长;可分别在Rt△OBC和Rt△OAC中,通过解直角三角形求出OB、OA的长,即可得到A、B的坐标,进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式.解答:解:由题意得C(0,)在Rt△COB中,∵∠CBO=60°,∴OB=OC•cot60°=1∴B点的坐标是(1,0);(1分)在Rt△COA中,∵∠CAO=45°,∴OA=OC=∴A点坐标(,0)由抛物线过A、B两点,得解得∴抛物线解析式为y=x2﹣()x+(4分)设直线BC的解析式为y=mx+n,得n=,m=﹣∴直线BC解析式为y=﹣x+.(6分)23.如图,抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标.考点:二次函数综合题.专题:压轴题;动点型.分析:(1)先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标,然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值.(2)根据(1)中抛物线的解析式可求出C,D两点的坐标,由于△APC和△ACD同底,因此面积比等于高的比,即P点纵坐标的绝对值:D点纵坐标的绝对值=5:4.据此可求出P点的纵坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求出P点的坐标.解答:解:(1)直线y=x﹣3与坐标轴的交点A(3,0),B(0,﹣3).则,解得,∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3.(2)抛物线的顶点D(1,﹣4),与x轴的另一个交点C(﹣1,0).设P(a,a2﹣2a﹣3),则(×4×|a2﹣2a﹣3|):(×4×4)=5:4.化简得|a2﹣2a﹣3|=5.当a2﹣2a﹣3=5,得a=4或a=﹣2.∴P(4,5)或P(﹣2,5),当a2﹣2a﹣3<0时,即a2﹣2a+2=0,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(﹣2,5).27.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA.(1)求抛物线的解析式;(2)若点C(﹣3,b)在该抛物线上,求S△ABC的值.考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征.专题:计算题.分析:(1)由抛物线解析式确定出顶点A坐标,根据OA=OB确定出B坐标,将B坐标代入解析式求出a的值,即可确定出解析式;(2)将C坐标代入抛物线解析式求出b的值,确定出C坐标,过C作CD垂直于x轴,三角形ABC面积=梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积,求出即可.解答:解:(1)由投影仪得:A(﹣1,0),B(0,﹣1),将x=0,y=﹣1代入抛物线解析式得:a=﹣1,则抛物线解析式为y=﹣(x+1)2=﹣x2﹣2x﹣1;(2)过C作CD⊥x轴,将C(﹣3,b)代入抛物线解析式得:b=﹣4,即C(﹣3,﹣4),则S△ABC=S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×(4+1)﹣×4×2﹣×1×1=3.点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.28.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.(1)求抛物线顶点A的坐标及c的值;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD 的形状.考点:二次函数综合题.分析:(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的解析式中求出点A的坐标,再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x2﹣2x+c中,运用待定系数法即可求出c的值;(2)先由抛物线的解析式得到点B的坐标,再求出AB、AD、BD三边的长,然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形.解答:解:(1)∵y=x2﹣2x+c,∴顶点A的横坐标为x=﹣=1,又∵顶点A在直线y=x﹣5上,∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,∴点A的坐标为(1,﹣4).将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,得﹣4=12﹣2×1+c,解得c=﹣3.故抛物线顶点A的坐标为(1,﹣4),c的值为﹣3;(2)△ABD是直角三角形.理由如下:∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点B,∴B(0,﹣3).当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴C(﹣1,0),D(3,0).∵BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,∴BD2+AB2=AD2,∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.。