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二次函数测试题及答案

二次函数一、 选择题:1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( )A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点),(a c b M 在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0<a ,0>+-c b a ,则一定有( )A. 042>-ac bB. 042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤04. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是532+-=x x y ,则有( )A.3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=cD. 9-=b ,21=c 5. 已知反比例函数x k y =的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )x6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )D7.抛物线322+-=xxy的对称轴是直线()A. 2-=xB. 2=xC. 1-=xD. 1=x8.二次函数2)1(2+-=xy的最小值是()A. 2-B. 2C. 1-D. 19.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示,若cbaM++=24cbaN+-=,baP-=4,则()A. 0>M,0>N,0>PB. 0<M,0>N,0>PC. 0>M,0<N,0>PD. 0<M,0>N,0<P二、填空题:10.将二次函数322+-=xxy配方成khxy+-=2)(的形式,则y=______________________.11.已知抛物线cbxaxy++=2与x轴有两个交点,那么一元二次方程02=++cbxax的根的情况是______________________.12.已知抛物线cxaxy++=2与x轴交点的横坐标为1-,则ca+=_________.13.请你写出函数2)1(+=xy与12+=xy具有的一个共同性质:_______________.14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点:甲:对称轴是直线4=x;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:15.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_____________________.16.如图,抛物线的对称轴是1=x,与x轴交于A、B两点,若B点坐标是)0,3(,则A点的坐标是________________.三、解答题:1.已知函数12-xy的图象经过点(3,2).+=bx(1)求这个函数的解析式;(2)当0>x时,求使y≥2的x的取值范围.2经过点)0,1(A,与y轴交-=5+y+xx于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)P是y轴正半轴上一点,且△P AB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标.3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s与t 之间的关系).(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s (万元)与销售时间t (月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图上去,跨度AB =5cm ,拱高OC =0.9cm ,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1). 在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以1cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;(2)如果DE 与AB 的距离OM =0.45cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:2≈1.4,计算结果精确到1米).(1) A BC D E M O (2)5. 已知二次函数m ax ax y +-=2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点,21x x <,交y 轴的负半轴与C 点,且AB =3,tan ∠BAC = tan ∠ABC =1.(1)求此二次函数的解析式;(2)在第一象限......,抛物线上是否存在点P ,使S △P AB =6?若存在,请你求出点P 的坐标;若不存在,请你说明理由.提高题1. 已知抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点,且交点为)0,2(A .(1)求b 、c 的值;(2)若抛物线与y 轴的交点为B ,坐标原点为O ,求△OAB 的面积(答案可带根号).2. 启明星、公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件. 为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验,每年投入的广告费是x (万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y 倍,且107107102++-=x x y ,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费: (1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目.3. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB 的宽为20m ,如果水位上升3m 时,水面CD 的宽是10m.(1)求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km (桥长忽略不计). 货车正以每小时40km 的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O 时,禁止车辆通行). 试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?4. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出. 在此基础上,当每套设备的月租金提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x (元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y (元).(1)用含x 的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;(2)求y 与x 之间的二次函数关系式;(3)当月租金分别为4300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该租出多少套机械设备?请你简要说明理由;(4)请把(2)中所求的二次函数配方成a b ac a b x y 44)2(22-++=的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?参考答案一、选择题:二、填空题:1. 2)1(2+-=x y2. 有两个不相等的实数根3. 14. (1)图象都是抛物线;(2)开口向上;(3)都有最低点(或最小值)5.358512+-=x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或178712-+-=x x y 6.122++-=x x y 等(只须0<a ,0>c ) 7.)0,32(- 8. 3=x ,51<<x ,1,4三、解答题:1. 解:(1)∵函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2),∴2139=-+b . 解得2-=b .∴函数解析式为122--=x x y .(2)当3=x 时,2=y .根据图象知当x ≥3时,y ≥2.∴当0>x 时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.2. 解:(1)由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .(2)∵点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为)4,0(-.∴OA =1,OB =4.在Rt △OAB 中,1722=+=OB OA AB ,且点P 在y 轴正半轴上. ①当PB =P A 时,17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时点P 的坐标为)417,0(-. ②当P A =AB 时,OP =OB =4 此时点P 的坐标为(0,4).3. 解:(1)设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++;5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a ∴t t s 2212-=. (2)把s =30代入t t s 2212-=,得.221302t t -= 解得101=t ,62-=t (舍去) 答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把7=t 代入,得.5.10727212=⨯-⨯=s把8=t 代入,得.16828212=⨯-⨯=s 5.55.1016=-. 答:第8个月获利润5.5万元.4. 解:(1)由于顶点在y 轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092+=ax y . 因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上,所以109)25(·02+-=a ,得12518-=a .因此所求函数解析式为109125182+-=x y (25-≤x ≤25). (2)因为点D 、E 的纵坐标为209,所以10912518209+-=,得245±=x . 所以点D 的坐标为)209,245(-,点E 的坐标为)209,245(. 所以225)245(245=--=DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225≈=⨯⨯(米). 5. 解:(1)∵AB =3,21x x <,∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x .∴11-=x ,22=x .∴OA =1,OB =2,2·21-==am x x . ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ,∴1==OBOC OA OC . ∴OC =2. ∴2-=m ,1=a .∴此二次函数的解析式为22--=x x y .(2)在第一象限,抛物线上存在一点P ,使S △P AC =6.解法一:过点P 作直线MN ∥AC ,交x 轴于点M ,交y 轴于N ,连结P A 、PC 、MC 、NA .∵MN ∥AC ,∴S △MAC =S △NAC = S △P AC =6. 由(1)有OA =1,OC =2.CN =12. ∴6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM . ∴AM =6,∴M (5,0),N (0,10).∴直线MN 的解析式为102+-=x y .由⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y 得⎩⎨⎧==;4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x (舍去) ∴在 第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △P AC =6.解法二:设AP 与y 轴交于点),0(m D (m >0)∴直线AP 的解析式为m mx y +=.⎩⎨⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x .∴1+=+m x x P A ,∴2+=m x P .又S △P AC = S △ADC + S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(21P x AO CD +. ∴6)21)(2(21=+++m m ,0652=-+m m∴6=m (舍去)或1=m .∴在 第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △P AC =6.提高题1. 解:(1)∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点,∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根,即042=-c b . ①又点A 的坐标为(2,0),∴024=++c b . ②由①②得4-=b ,4=a .(2)由(1)得抛物线的解析式为442+-=x x y .当0=x 时,4=y . ∴点B 的坐标为(0,4).在Rt △OAB 中,OA =2,OB =4,得5222=+=OB OA AB .∴△OAB 的周长为5265241+=++.2. 解:(1)76)34()10710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .当3)1(26=-⨯-=x 时,16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S .∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.(2)用于投资的资金是13316=-万元.经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取A 、B 、E 各一股,投入资金为13625=++(万元),收益为0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元);另一种是取B 、D 、E 各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为0.4+0.5+0.9=1.8(万元)>1.6(万元).3. 解:(1)设抛物线的解析式为2ax y =,桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米,则),5(h D -,)3,10(--h B .∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a ∴抛物线的解析式为2251x y -=. (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4(小时),货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280,∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x 千米/时,当2801404=⨯+x 时,60=x .∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时.4. 解:(1)未出租的设备为10270-x 套,所有未出租设备的支出为)5402(-x 元. (2)54065101)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y . ∴540651012++-=x x y .(说明:此处不要写出x 的取值范围)(3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为37套;当月租金为350元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租32套;如果考虑市场占有率,应选择出租37套.(4)5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y .∴当325x时,y有最大值11102.5. 但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整数,故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元.(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。

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