高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．162．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ）（A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).2018．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2Px x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于11.已知函数()()()()()2110,11xa x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,35250,0.x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩||OA （O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .14．已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤C 1B 1A16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；(3)6=+，求⊿ABC 的面积。

17．（本小题12分）已知向量()11,,2,cos 2sin sin x x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭a b ，其中⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πx ． （1）试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？ （2）求函数()f x =a b 的最小值．18.( 本小题12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ． （1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．19. （本小题12分）已知数列)2(,122,5}{11+-∈≥-+==N ，n n a a a a n n n n 满足 （Ⅰ）若nn n a b 21-=，)(+∈N n 为等差数列数列求证}{:n b ； （Ⅱ）设数列{}n a n S n 项和的前，求n S20. (本小题12分) 已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a 、b 是常数且a ≠0）满足条件：f （2）＝0且方程f （x ）＝x 有等根． （1）求f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m 、n （m ＜n ）使f （x ）的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］，如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．高二数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题：。

每小题6分，满分48分。

1．D 2．C 3．A 4．A 5.B 6.B 7A. 8.C二、填空题：。

每小题6分，满分42分。

9．{}1,0,1,2,3- 10．16π11.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12. 213. 5 14. －6 15. 三．解答题.满分60分16解(1)由1=∙=∙，得bccosA=accosB,sinBcosA=sinAcosB, sin(A-B)=0,则A=B.----------（4分）(2) 1=∙,得bccosA=1,又12222=-+∙bca cb bc ，则b 2+c 2-a 2=2,c 2=2,所以2=c 。

-----------8分）6=+,得2+b 2+2=6, 2=b ,s=23.-------------------（12分） 17解：（1）若ab ，则有02sin 12cos sin 1=⋅+⋅xx x ． ∵0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴sin 0x ≠．∴22cos -=x ，这与cos21x ≤矛盾． ∴a 与b 不能平行． ……………………6分（2）∵2cos 2()sin sin x f x x x==-a b xx x x sin sin 21sin 2cos 22+=-=xx sin 1sin 2+=，∵0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴(]sin 0,1x ∈，∴22sin 1sin 22sin 1sin 2)(=⋅≥+=x x x x x f ．当x x sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号，故函数)(x f 的最小值为22．……………………12分18.解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ． （1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．---------------------------- （2分） ∵直线ax ＋by ＋c=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是1=即：a 2＋b 2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况．∴直线ax ＋by ＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是213618=----------- （6分）（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． ∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5）， （5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1873614=．---------------（12分）19. 解：（I ）∵nn n a b 21-=，∴12+⋅=n n n b a 又∵,1221-+=-n n n a a ∴12)12(21211-++⋅=+⋅--n n n n n b b ， 即11=--n n b b ，()+∈≥Nn n ,2，且21=b……………………3分所以，为等差数列数列}{n b …………………………5分 （II ）由（I ）可得1)1(1+=-+=n d n b b n 又∵12+⋅=n n n b a ，∴ )(12)1(+∈++=N n n a n n,2)1(n n n T n n b 项和为且其前令+=n n n T 2)1(24232232+++⨯+⨯+⨯=∴ ①1322)1(223222+++⨯++⨯+⨯=n n n n n T ②……………………10分①－②得11322)1()22(22)1(2224+++-+++=+-++++=-n n n nn n n T11122)1(2+++⋅-=+-=n n n n n.2,211n n S n T n n n n +⋅=∴⋅=∴++………………………………12分20.解：（1）∵方程ax 2＋（b －1）x ＝0（a ≠0）有等根， ∴1004)1(2＝＝－－＝b a b ⇒⨯∆． 又f （2）＝0，∴4a ＋2b ＝0．∴21＝－a ．∴x x x f ＋＝－221)(．………… 5分（2）∵2121)1(21)(2≤＋－＝－x x f ，∴212≤n ，即41≤n ． 又二次函数21)1(212＋－＝－x y 的对称轴方程为x ＝1，∴当41≤n 时，f （x ）在［m ，n ］上为增函数，设m 、n 存在，则⎪⎩⎪⎨⎧n n f m m f 2)(2)(＝＝ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒．＝－或＝＝－－，＝－或＝＝－－200212002122n n n n m m m m∵41≤n m ＜，∴⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝－02n m 即存在实数m ＝－2，n ＝0使f （x ）的定义域为［－2，0］，值域为［－4，0］．……………………12分。