浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A.D.4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =--C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ）A. 20B. 22C. 24D. 25,7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。
A.4 B. 6 C. 7 D 88. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。
A.9. 设函数234()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则函数()y f x =的极大值点为（ ）A.0x =B. 1x =C. 2x =D. 3x = 10. 已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）。
A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）11. 若1tan tan 2,sin sin 3x y x y ==，则x y -=________________。
12. 已知2()(1)2f x x k x =-++，若当0x >时()f x 恒大于零，则k 的取值范围为_____________ 。
13. 数列1,2,n =，则数列中最大项的值为______________。
14. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x =_______, y =________。
15. 设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,且AB BC ==则直线l 的方程为_________。
16. 若0,0,a b >>则2211min{max(,,)}a b a b+=______________________。
17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限,x y 轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。
若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________________种不同的运动轨迹。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18. 已知抛物线24y x =，过x 轴上一点K 的直线与抛物线交于点,,P Q两点。
证明，存在唯一一点K ，使得2211PKKQ+为常数，并确定K 点的坐标。
正视图：正方形2俯视图：边长为2的正三角形19. 设二次函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[3,4]上至少有一个零点，求22a b +的最小值。
20. 设x N ∈满足201312014.2013x x +⎛⎫<⎪⎝⎭数列122013,,,a a a 是公差为2013x ，首项220121(1)1a x x =+-的等差数列； 数列122013,,,b b b 是公比为1,xx+首项20131(1)b x x =+的等比数列，求证：11220122013b a b a b <<<<< 。
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。
）21. 设,,,3,a b c R ab bc ca +∈++≥证明555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。
22. 从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。
试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。
2013年浙江省高中数学竞赛答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
2. 答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+=。
当60sin sin 1αβαβ==⇒+=>，但90αβ+≠。
3. 答案 B 计算得2733,q a == 4. 答案 D 5. 答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ∙=-∙-=-++∙ 22minmin{}CM AM CA CB CMCM l =-⇒∙=⇔⊥。
6. 答案 C 111110.9624.1223(1)1S k k k k =+++=-≥⇒≤⨯⨯⨯++ 7. 答案 D 设三位数为()()11199(09,99,0),b d b b d b d b d d -+=-≤<-<<≠由7(11199)7()1,1;2,2;3,3;b d b d b d b d b d -⇒+⇒==-==-==-4,3,4;b d ==-5,2;6,1;8,1b d b d b d ======-。
所以，所有的三位数为210,420,630,147,840,357,567,9878. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。
（图 1 ）9. 答案 B 由图象可知1x =为函数极大值点，3x =是极小值点，0,2x =不是极值点。
10. 答案 C 22(1)1()22x h x x -++-==-+。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）11. 解答：由111tan tan 2,sin sin cos cos cos()362x y x y x y x y ==⇒=⇒-=，所以x y -=23k ππ±。
12. 解答由222(1)201,x k x k x x x x-++>⇒+<++≥等号在x =1k <。
13. 解答 111ln /2()()(1ln )xx xxxf x x ef x x x e x==⇒=-⇒=14. 解答 把等式看成关于x 的一元二次方程22224(1)20(221)0(32)0,33y y y y y x ∆=--++≥⇒+≤⇒=-=。
15. 解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为1,(,)y kx A x y =+，则3211(2)(2)02y kx y x x k k k k ⎧=+⎪⎪=++⇒-++=⇒=⎨=。
所求直线方程为21y x =+。
16. 解答 2222211112max{,,},,a b m a m b m m m a b a b m+=⇒≤≤+≤⇒≥⇒m ≥所以2211min{max(,,)}a b a b+=17. 解答 21669C C -=.三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18. 解答 设K （,0a ），过K 点直线方程为()y k x a =-，交抛物线于1122(,),(,),A x y B x y 联立方程组222222221212242(2)2(2)0,()y x ak k x ak x a k x x x x a k y k x a ⎧=+⇒-++=⇒+==⎨=-⎩…5分 2222221122(),()PK x a y KQ x a y ⇒=-+=-+……………………………………7分 222221112(1)ak a k PK KQ+⇒+=+，……………………………………………………12分 令2a =22111,(2,0)4K PK KQ⇒+=。
…………………………………………17分 19. 解法1 由已知得，设t 为二次函数在[3,4]上的零点，则有2(21)20at b t a ++--=，变形222222222222(2)[(1)2]()((1))()(1)t a t bt a b t t a b t -=-+≤+-+=++，……5分于是22222211()51100(24)2t a b t t t -+≥=≥+-++-，……………………………12分 因为52,[3,4]2t t t -+∈-是减函数，上述式子在233,,2550t a b ==-=-时取等号，故22a b +的最小值为1100。
………………………………………………………………17分 解法2 把等式看成关于,a b 的直线方程2:(1)220x a xb x -++-=，利用直线上一点（,a b ）到原点的距离大≥（以下同上）。
20.解：首先，201320122)1(1)1(xixxai-+-+=， -----------------2分iiiixxxxxxb--+=++=201412013)1()1()1(。
-----------------4分iii xxxbb)1(20131+=-+…………………………………………6分用归纳法证明20131,201320142013≤≤-≥-iixbaii。