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中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题1、如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C 向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。

设运动时间为t秒.(1)求线段BC的长;(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。

设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围:(3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF=33QG?2、在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA.(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).3、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为ι秒.(1)当ι=7时,点P与点Q相遇;(2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形?(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.①求s与ι之间的函数关系式;②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.4、如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k·AE,AC=k·AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N.(1)探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明.(2)若△ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系.5.如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6,B∠和C∠都为锐角,M为AB一动点(点M与点A B、不重合),过点M作MN BC∥,交AC于点N,在AMN△中,设MN的长为x,MN上的高为h.(1)请你用含x的代数式表示h.(2)将AMN△沿MN折叠,使AMN△落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面ABCEMDN的点为1A ,1A MN △与四边形BCNM重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少?6.已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .(1)求证:EG =CG ; (2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?7.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请F A C E 图③ A D E G图① F A D G图②说明理由;8.如图,在Rt ABC ∆中,∠ACB= 090 ,AC=6,BC=8,点D 在边AB 上运动,DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ,EM BD ⊥垂足为M ,EN CD ⊥垂足为N 。

(1) 当AD=CD 时,求证:DE ∥AC ;(2) 探究:AD 为何值时,△BME 与△CNE 相似?(3) 探究:AD 为何值时,四边形MEND 与△BDE 的面积相等?9.如图,已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合.(1)求ABC △的面积;(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.10.如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由.11.如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ;⑵ ①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;A DB EO CF xy1l y2l(G ) DPN ADC PAEA DB CNM②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;⑶当AM+BM+CM的最小值为13 时,求正方形的边长.12.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?13.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠CO A=90º,CB=3,OA=6,BA=35.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标;(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2E B,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使图7-2AD O BC 21MN图7-1AD BM N1 2图7-3 A D O BC 2 1 MN O 以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.14.在图15-1至图15-3中,直线MN 与线段AB 相交 于点O ,∠1 = ∠2 = 45°.(1)如图15-1,若AO = OB ,请写出AO 与BD的数量关系和位置关系;(2)将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB . 求证:AC = BD ,AC ⊥ BD ;(3)将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3,求ACBD的值.15.如图,已知过A (2,4)分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,若点P 从O 点出发,沿OM 作匀速运动,1分钟可到达M 点,点Q 从M 点出发,沿MA 作匀速运动,1分钟可到达A 点。

(1)经过多少时间,线段PQ 的长度为2?(2)写出线段PQ 长度的平方y 与时间t 之间的函数关系式和t 的取值范围;(3)在P 、Q 运动过程中,是否可能出现PQ ⊥MN ?若有可能,求出此时间t ;若不可能,请说A BDEFC OMNxy明理由;(4)是否存在时间t,使P、Q、M构成的三角形与△MON相似?若存在,求出此时间t;若不可能,请说明理由;YN AQO P M X16、如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.(1)求证:;(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC 重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.。

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