相似三角形综合题练习类型一相似三角形中动点问题例1:如图正方形ABCD的边长为2，AＥ=EＢ，线段ＭN的两端点分别在CB、CＤ上滑动,且MN=1,当ＣＭ为何值时△AED与以Ｍ、Ｎ、C为顶点的三角形相似?变式：如图，在△ABC中,AＢ=８,BＣ=7，ＡＣ=6,有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为２单位／秒，有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCＡ相似.例２：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点Ｐ、Q同时从A、Ｂ两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是１cm/s，点Q运动的速度是2cm/ｓ,当点Q到达点Ｃ时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s）,解答下列问题：（1）当t=２时，判断△ＢPQ的形状，并说明理由;（２）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交ＡC于点Ｒ，连结PＲ,当t为何值时，△AＰR∽△PRQ?A B D CENN C M B 变式:如图，在矩形ABC Ｄ中,AB=1２cm,BC=8ｃｍ．点E 、Ｆ、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2c ｍ/s ，点F 的速度为4ｃm/ｓ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△ＥFG 的面积为S(c ｍ２）(1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？(2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围.（3）若点F 在矩形的边B Ｃ上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶 点的三角形与以点F 、C 、Ｇ为顶点的三角形相似？请说明理由.例3：如图,在梯形ABC Ｄ中，AD ∥ＢC,AD ＝3，ＤC=５,BC=10，梯形的高为４.动点M 从Ｂ点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动N 同时从C 点出发沿线段C Ｄ以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). （１）当MN/／AB 时，求t 的值；（2)试探究：t 为何值时,△ＭN Ｃ为直角三角形．变式：如图,在直角梯形ＡBCD中，AB∥DC，∠D=９0o,AC⊥ＢＣ,AB=1０cｍ,ＢC=６ｃm，F点以2cm/秒的速度在线段ＡＢ上由A向B匀速运动，Ｅ点同时以1cｍ/秒的速度在线段ＢＣ上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0＜ｔ<５).(1)求证:△ＡCD∽△ＢAC;(２）求：DC的长；(3）试探究:△BEF可以为等腰三角形吗?若能,求t的值；若不能，请说明理由.例4：如图①，在△ABC中,AB=ＢC＝5,ＡC=６.△ECD是△AＢＣ沿BC方向平移得到的,连接AE.ＡC和BＥ相交于点O.(1）判断四边形AＢCＥ是怎样的四边形，说明理由;（２)如图②,P是线段BＣ上一动点（不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,ＱR⊥BD,垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化,请说明理由；若不变，求出四边形PＱＥD的面积；当线段BP的长为何值时，△PＱR与△BOC相似？变式:如图,在Rt △A ＢC 中，∠A=９０°，ＡＢ=6,AC=８，Ｄ,E 分别是边A Ｂ,A Ｃ的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作P Ｑ⊥ＢC 于Q ，过点Ｑ作Q Ｒ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时,点Ｐ停止运动.设ＢQ ＝x ，ＱR ＝ｙ． (1)求点Ｄ到BC 的距离ＤH 的长；（2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围）;(3）是否存在点P ，使△ＰＱＲ为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由．类型二 结合坐标系的解析几何例1:如图,在平面直角坐标系中，已知Ａ（０，6),B （8,0）,P 从Ａ开始在线段A Ｏ上以每秒1个单位长度的速度向Ｏ移，同时Q 从B 开始在线段B Ａ上以每秒２个单位长度的速度向Ａ移,设P,Q 移的时间为t （s ）．当t 为何值时,△ＡＰＱ与△AOB?并求出此时P 与Q 的坐标.A B C D E RP H Q变式：如图，已知直线l 的函数表达式为483y x =-+，且l 与x 轴,y 轴分别交于A B ，两点,动点Q从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,设点Q P ，移动的时间为t 秒.(1)求出点A B ，的坐标；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？（3)求出（２）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式．例２：已知:如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠A ＣB ＝90°,点A 、C 的坐标分别为Ａ(－３,0）,C(1，0)， 43=AC BC ，（1)求过点A 、B 的直线的函数表达式；(2)在X 轴上找一点D,连接ＤＢ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；(3）在(２）的条件下，如P 、Q 分别是ＡB 和AD 上的动点,连接PQ ，设AP ＝D Ｑ＝m,问是否存在这样的ｍ使得△AP Ｑ与△ADB 相似,如存在，请求出ｍ的值;如不存在，请说明理由．变式:如图,在平面直角坐标系中,点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上,且满足x10OA -=．（1)求点A ,点B 的坐标．(2）若点P 从C 点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动,连结AP .设ABP △的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围.(３)在(2）的条件下，是否存在点P ,使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似?若存在,请直接写出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.例3:如图直线y=-x+10与x 轴、y 轴分别交于A 、Ｂ两，Ｐ从A 开始在线段AO 上以每秒2x个长度单位的速度向原Ｏ运动．直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F．(当A运动到O时，直线ＥF随之停止运动）连接FP，设P与直线EF同时出发，运时间为t秒.（1)当t=1秒时，求△APF的面积;（２）设t的值分别取t、t2时(t１≠ｔ２),所对应的三角形分别为△AF１Ｐ1和△AF2P2.试判断这１两个三角形是否相似，请证明你的判断;变式：如图,A的坐标为（1,１)，点C是线段ＯA上的一个动点(不运动至O,A两点),过C作CD⊥ｘ轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接ＡＦ并延长交x轴的正半轴于B,连接OF,若以B，E，Ｆ为顶的三角形与△OFE相似，则Ｂ的坐标是．类型三动态几何中的相似例1、在图1至图3中,直线MＮ与线段AB相交于点Ｏ，∠1=∠２=4５°.(1)如图1,若ＡO=OB,请写出AＯ与BD的数量关系和位置关系；(2）将图１中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB.求证:AC=BD，ＡC⊥ＢD；（3)将图2中的OB拉长为AO的ｋ倍得到图3,求的值．变式:已知在Ｒt△ＡBC中，∠ABC=９０º，∠A＝30º,点P在AＣ上,且∠MＰN=90°.当点P为线段AＣ的中点,点Ｍ、Ｎ分别在线段AＢ、ＢC上时(如图1）,过点Ｐ作ＰE⊥AB 于点E，ＰF⊥BＣ于点F,可证t△ＰME∽t△PNF，得出PＮ＝3PM.（不需证明)当PＣ=错误!PＡ，点Ｍ、N分别在线段ＡB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段ＰＮ、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明.图2ADOBC21MN图1ADBMN12图3ADOBC21MNOACBD例2:等腰△ABC,ＡB=AC=８,∠BＡC＝１２0°，P为ＢC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板,使３0°角的顶点落在点P，三角板绕Ｐ点旋转.ﻫ(1）如图a，当三角板的两边分别交ＡB、AＣ于点E、Ｆ时.求证：△BＰE∽△ＣＦP；ﻫ(2）操作:将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BＡ的延长线、边ＡC于点E、F．①探究1:△BPＥ与△CFP还相似吗?（只需写出结论)②探究2:连接EF，△BPE与△ＰFＥ是否相似?请说明理由；ﻫ③设EF=m，△ＥPF的面积为S,试用m的代数式表示S．作业练习：1.如图,四边形ＡBCD中，AＤ=ＣD,∠DAＢ＝∠ACB＝9０°,过点Ｄ作DE⊥AC,垂足为F，D Ｅ与ＡB相交于点Ｅ．(1）求证:ＡB·AF=CＢ·CDDPA EFCB (２）已知AＢ＝１5cm，BC=9cm,P是射线DＥ上的动点.设DP＝xｃm(x>0),四边形BＣDP 的面积为ycｍ2.①求y关于ｘ的函数关系式；②当ｘ为何值时,△PＢＣ的周长最小，并求出此时y的值.2.如图所示,在ΔABC中，ＢA=BC=20cｍ，AC=30cm，点P从A点出发,沿着AB以每秒4c ｍ的速度向B点运动;同时点Ｑ从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.（1）当x为何值时,PＱ∥ＢC？（2）当31=∆∆ABCBCQSS,求ABCBPQSS∆∆的值;（３）ΔAPＱ能否与ΔＣＱB相似?若能,求出AP的长；若不能，请说明理由。

３.已知直角坐标系中菱形ＡBC Ｄ的位置如图，C ，Ｄ两点的坐标分别为(４，０),（０,3).现有两动点Ｐ,Q 分别从Ａ，C 同时出发，点Ｐ沿线段ＡD 向终点D 运动，点Q 沿折线C ＢA 向终点Ａ运动，设运动时间为t 秒.（1)填空：菱形AB ＣD 的边长是 ,面积是 ,高BE 的长是 ； (2)探究下列问题：①若点Ｐ的速度为每秒1个单位,点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段ＢA 上时,求△AP Ｑ的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值．②若点P 的速度为每秒１个单位,点Ｑ的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形,并求出k 的值.４．将两块大小一样含3０°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合,已知AB=8,B Ｃ=ＡＤ=4,A Ｃ与B Ｄ相交于点Ｅ，连结CD ．(1)填空:如图1，ＡＣ= ，BD= ;四边形ABC Ｄ是 梯形. (2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形)．(3）如图2，若以ＡB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图2的平面直Oxy ABC DE角坐标系,保持ΔABD 不动,将ΔA ＢC 向ｘ轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，F Ｈ与ＢD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为Ｓ,求S 与t 之间的函数关系式，并写出ｔ的取值范围.４．在直角坐标系中，点A(５，０)关于原点O 的对称点为Ｃ. (１）请直接写出点Ｃ坐标；(２)若点Ｂ在第一象限内，∠OAB =∠OBA ，并且点B 关于原点O 的对称点为D ： ①试判断四边形ＡＢＣD 的形状；并说明理由；②现有一动点P 从B 出发,沿路线BA→AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动,另一DC BAE图1图2动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.４个单位长度的速度向终点Ｃ运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB ＝6，设点Ｐ、Ｑ运动时间为t，在运动过程中,当ｔ为何值时，PQ⊥AC?Ox y。