相似三角形综合题精选
1、在Rt ABC ∆中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点,
且CE =
13AC ,BF =1
3BC . (1 )求证∶AC BC =CD
BD
.
(2 )求EDF ∠的度数.
2、在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP =x ，CE =y ．
（1）如图，当点P 在边BC 上时（点P 与点B 、C 都不重合），求y 关于x 的函数解析式，并
写出它的定义域； （2）当x =3时，求CF 的长； （3）当EP/AP=2
1
时，求BP 的长．
F
F
E
D
C B
A
3、（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P
不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；
②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD 的边长为5（如图2），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与
点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长 （不需要计算过程，请直接写出结果）.
图1
A B
C
备用图
A B C P Q A
B
C
D
图2
※ 课堂练习：
1、在ABC ∆和AED ∆中, AB ·AD ＝AC ·AE ,CAE ∠＝BAD ∠,ADE S ∆＝4ABC S ∆.
求证∶DE ＝2BC .
2、如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. （1）求证：ACB D ∠=∠；
（2）若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2) ① 求证:ADF ∆∽ACE ∆； ② 求证:EF AE =.
（图1） （图
2）
E
D
C
B
A
3、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，︒=∠90A ，2=AB ，3=BC ,1=CD ，
E 是AD 的中点. （1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；
（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由.
4、已知：如图，在△ABC 中，∠ADE = ∠B ，∠BAC = ∠DAE ． （1）求证：
AC
AE
AB AD =
； （2）当∠BAC = 90°时，求证：EC ⊥BC ．
E
A B
C
D E
5、如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ∆的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上． 已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）联结EG ，当GEC ∆为等腰三角形时，求y 的值．
6、如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =6，∠ABC =60°；点P
（与点A 不重合），BP 与AC 相交于点E ，设AP =x ．
（1）求AC 的长； （2）如果△ABP 和△BCE 相似，请求出x 的值；
（3）当△ABE 是等腰三角形时，求x 的值．
A
D G B
E
F C
7、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，BC = 2，AC = 4，P 是斜边AB 上的一个动点，
PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD = ∠A ．
设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE = 2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，BD ⊥CD ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：
BD
DE
CB AD =
； （2）如果BD 平分∠ABC ，求证：CD AE 2
1
=
D E
（第1题）
B
C
D
A E
2、 己知四边形ABCD 是正方形, CE ∶DE ＝1∶2,线段AE 、BC 的延长线交于点F .求ECF ∆与ABF ∆的周长比.
4、在ABC ∆和AED ∆中, AB ·AD ＝AC ·AE ,CAE ∠＝BAD ∠,ADE S ∆＝4ABC S ∆.
求证∶DE ＝2BC .
5、在Rt ABC ∆中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点,且CE =
13AC ,BF =1
3
BC . (1 )求证∶AC BC =CD
BD
.
(2 )求EDF ∠的度数.
F
E
D
C B A
E
D
C
B
A
F
E
D
C A
6、如图, 在△ABC 中, 点D 、E 分别在BC 、AC 上, BE 平分∠ABC, DE ∥BA ． 如果CE =6, AE =4, AB =15, 求DE 和CD 的长．
7、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．
求证：（1）DA DE DB ⋅=2
； （4分）
（2）DAC DCE ∠=∠． （4分）
A E
D
B C A
C
D
E
B
8、如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =6，∠ABC =60°；点P 是射线AD 上的一个动点（与点A 不重合），BP 与AC 相交于点E ，设AP =x ．
（1）求AC 的长； （2）如果△ABP 和△BCE 相似，请求出x 的值； （3）当△ABE 是等腰三角形时，求x 的值．
9、如图，︒=∠=∠90DCB ABC ，BC AB =，点E 是BC 的中点，ED EA ⊥．
求证：（1）ABE ∆∽ECD ∆； （5分） （2）EAB EAD ∠=∠． （5分）
A B E D
C
30方向OB。

现10、如图，某城市有一条公路，从正西方向AO经过市中心，后转向北偏东
要修建一条高速公路L,新建高速公路在OA上设一出入口A，在OB上设一出入口B。

高速公
路在AB段为直线段。

（1）若OA=OB=20km,求两出入口之间的距离；
（2）若OB=2OA，市中心O到高速公路L的距离为10km，求两出入口之间的距离；
（3）请你设计一种方案：确定两出入口的位置（两出入口到市中心O的距离不相等
．．．），使市中心到高速公路的距离扩大到12km。

（不要求写出计算过程）
B
A O
12、如图6，ABC ∆中，点D 、F 在边AB 上，点E 在边AC 上，且//EF CD ，线段AD 是线段AF 与AB 的比例中项． 求证：//DE BC .
13.如图8，矩形EFGD 的边EF 在ABC ∆的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形．
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）联结EG ，当GEC ∆为等腰三角形时，求y 的值．
C
B
D E F 图6 A
A
D G
B E F C
图8
F E D C B
A
14、如图，在梯形ABCD 中，5,3,==BC AD BC AD ，E 、F 是两腰上的点，且AD EF ，
AE ︰EB =1︰2，试求EF 的长.
15、如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. （1）求证：ACB D ∠=∠；
（2）若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2)
① 求证:ADF ∆∽ACE ∆；
② 求证:EF AE =.
（图1） （图2）
16、如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
AE = 2CE，AB = 6，BC = 9，求四边形BDEF的周长．
C
F。