• Morgenstern, N.R. and Price, V. 1965 The analysis of the stability of general slip surface,
Geotechnique, Vol. 15, No. 1，79-93.
讨论: 各种简化方法的局限性
瑞典法
N[W (c osruse)c]Q sintan cxsec
Fn1
N[W sinQdR ]
n1
Bishop’s 简化法
N[W (1ru)tan cx]/[ se (1 ctantan /F)]
Fn1
N[W sinQdR ]
n1
仅满足静力平衡条件的简化法
工程师团法 a
Lowe & Karafiath Method
()
2
传递系数法
解答
abp(x)s(x) 0
边坡稳定的极限平衡分析方法
极限平衡法
• 理论背景; • 计算方法; • 计算分析的电子表格
王仁，黄文彬，黄筑平，1992， 塑性力学引论（修正版），北京大学出版社
2pl 4Ms,
p2Ms/l
(a)
3p2l 3Ms,
pMs/2l
(b)
3p2l2pl5Ms,
p5Ms /8l
(c)
3p2l2pl5Ms,
a bp(x)s(x)t(x)d xM e0
s(x ) se e c( )ex a x p ta[ e n ( )d d d ]
t(x ) a x (s i c n o ta s )e n x a tp a e n ()d d d ]d
tan fo(x)f(x)
合理性条件
(a) Initial estimate，=0.117; (b) Critical failure mode，=0.007
Solutions to a Structural Mechanics Problem
A statically admissible stress field
Wi j, ji
ijnj Ti
ijkl kl
ntgc0
边坡稳定分析的下限解(近似) 垂直条分法
土质边坡稳定分析
• 满足力和力矩平衡的严格方法 • 简化方法
圆弧滑裂面 - 瑞典法, Bishop法 任意形状滑裂面 - 工程师团法， Lowe-Karafiath
边坡稳定极限平衡法（垂直条分法)c ec Ftane
tan
F
ce n tan e
力矩平衡方程
(GG)cos()[y(y)(yt yt)1 2y] Gcos(yyt 1 2y)GsinxddW xht 0
G sin yd d(G xco ) sd d(y x tG co ) s d dW h x t
力和力矩平衡方程的解
Chen & Morgenstern, 1983
abp(x)s(x) 0
pMs /4l
(d)
ANALYTICAL APPROACHES
The method of inclined slices
q = 111.4 kPa，
c＝98 kPa，=30,γ＝0.0 (a) A four slice failure mode, initial estimate, Fo=1.047;
ij ij W iu id vsT iu ids
Solutions to a Structural Mechanics Problem
A kinematically compatible deformation field
ij
ui, j
uj,i 2
Constitutive Law
C ij
G L se e c L ) ( G R [ ce o s R ) ( (W V ) se i n ) u s (s ee i c x n c e sc ee o c x Q s ce o )s ](
对各种简化方法的讨论
State of the art: Limit equilibrium and finite element analysis of slopes. Duncan, J. M. Journal of Geotechnical Engineering. 2019. Vol. 122, No. 7, July. 577-596.
力平衡方程
N si n T co Q s ( G co ) 0 s
N co T s si ( n W q x ) ( G si ) n 0
c o e s ( )d d G x sie n ( )d d G x p (x )
p ( x ) ( d d q W x ) si e n ) r u ( d d s W x e se i c c n e se ce c o d d sc W x e o ) s(
Ac
yt z yz
Spencer 法
基本假定
d/dx0
力平衡
tan
b
p(x)sece ()dx0 a
力矩平衡
bp (x )se e c ( )x (sin yco )d x s M e a
有关参考文献
• Chen, Zuyu and Morgenstern, N. R. 1983 Extensions to the generailised method of slices for stability analysis. Canadian Geotechnical Journal, Vol.20, No.1, pp,. 104119.
(1) 沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力（参见 图2.2） ，即
F v[E taa n X vca (vyz)]F
(2) 为保证在土条接触面上不产生拉力，作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在土条 垂直面的外面。
0Ac 1
式中：yt为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值。
(b) Results of the optimization search, Fm=1.013; (c) Result of the optimization search using 16 slices, Fm= 1.006.
c＝30 kPa，=0,γ＝0.0 q = 154.25 kPa，
The Prandlt’s bearing capacity solution by the method of inclined slices