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一、几个相关的重要数学概念 1、关系图
假设系统所涉及到的关系都是二元关系。则系统的单 元可用节点表示，单元之间的关系可以用带有箭头的边 （箭线）来表示，从而构成一个有向连接图。这种图统 称关系图。关系图中，称具有对称性关系的单元 ei 和ej 具有强连接性。
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一、几个相关的数学概念
例：一个孩子的学习问题
解释结构模型ISM及其应用
Interpretive Structural Modeling (ISM)
1
从概念模型到结构模型——系统概念开发
解决复杂系统问题，困难在于弄清楚要解决什么问题，什么是 表面问题，什么是潜在问题，什么是原因层的问题，什么是根子 层的问题。这就是问题诊断和系统概念开发。
如何能使用自然语言或图形等较直观的方式来描述和阐明问 题，这就是根据问题导向，建立概念模型。系统结构模型是一种 较正规的概念模型。这类模型对于理清思路、明确问题，与利益 相关者进行沟通，都极为有用。这种结构化的概念模型就是系统 结构模型。
2
结构模型：
系统有很多要素构成，建立要素之间的相互关系，即系统的结构模型，是系统分析的重要方法。
3
凡系统必有结构，系统结构决定系统功能；破坏结构，就会完 全破坏系统的总体功能。这说明了系统结构的普遍性与重要性。
结构模型描述系统结构形态，即系统各部分间及其与环境间的 关系（因果、顺序、联系、隶属、优劣对比等）。结构模型是从 概念模型过渡到定量分析的中介，即使对那些难以量化的系统来 说也可以建立结构模型，故在系统分析中应用很广泛。
A2 0
1
1
0 0
1
1
0 1
1
1
1
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1
4
2
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
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二、可达性矩阵的划分
1、关系划分
关系划分将系统各单元按照相互间的关系分成两大类 R与 ，
R类包括所有可达关R系， 类包括所有不可达关系。有序对R( ei , ej )，
这样可以以底层单元为标准进行区域的划分。
经过上述运算后，系统单元集系统就划分成若干区域，
可以写成
π2(S)={P1,P2,…,Pm}， 其中m为区域数。
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例：对一个7单元系统的区域划分
7 5
4
2 1
6 3
12 3 4 5 6 7 1 轾 犏1 0 0 0 0 0 0 2 犏 犏1 1 0 0 0 0 0 3 犏 犏0 0 1 1 1 1 0 M = 4 犏 犏0 0 0 1 1 1 0 5 犏 犏0 0 0 0 1 0 0 6 犏0 0 0 1 1 1 0 7 犏 犏 臌1 1 0 0 0 0 1
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对属于初始集B的任意两个元素 t、t′，如果可能指向相同元素
R( t )∩R( t′)≠φ 则元素 t 和 t′属于同一区域；
这种划分对经济区划分、行政区、功能和职 能范围等划分工作很有意义。
反之，如果 t、t′不可能指向相同元素
R( t )∩R( t′)=φ
则元素 t 和 t′属于不同区域。
an 2
ann
其中
aij
=
ìïí ïî
1，当ei对e j有关系时； 0，当ei对e j无关系时；
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• 邻接矩阵的特点
• 矩阵元素按布尔运算法则进行运算。 • 与关系图一一对应。
例4-3：一个4单元系统的关系图和邻接矩阵。

1
3
1 轾 犏1 0 1 1
A
=
2 3
犏 犏0 犏 犏1
1 0
1 0
如果 ei到e j 是可达的，则( ei , ej )属于R 类，否则( ei , ej )属于 类。 从可达性矩阵各元素是 1 还是 0 很容易进行关系划分。 关系R划分可以表示为：
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2、区域划分
2 (S)
区域划分将系统分成若干个相互独立的、没有直接或间接
影响的子系统。
• 可达集
• 先行集
• 底层单元集（初始集，其中元素具有此性质：不能存在一个单元只指向它 而不被它所指向。）
1.成绩不好
2.老师常批评
4.平时作业不认真 5.学习环境差
7.父母常打牌
8.父母不管
10.给很多钱
11.缺乏自信
1
3
4
3.上课不认真 6.太贪玩 9.朋友不好
2 11
5
6
7
8
9
10
8
例：温带草原食物链
12 11
9
2 3 4
1
1.草
2.兔
3.鼠
4.吃草的鸟
5.吃草的昆虫
10
6.捕食性昆虫
8
7.蜘蛛
8.蟾蜍
7
9.吃虫的鸟
10.蛇
6
11.狐狸
12.鹰和猫头鹰
5
9
2、邻接矩阵
用来表示关系图中各单元之间的直接连接状态的矩阵A。设系统S共有n个
单元S={e1,e2,…,en}
则
e1
e2
en
e1 轾 犏a11
a12
a1n
A
=
e2
犏 犏a21 犏
a22
a2 n
犏
en 犏 臌an1
0 1
4
2
4 犏 臌0 0 1 0
11
3、可达性矩阵 若D是由n个单元组成的系统S={e1,e2,…,en}的关系图，则元素为
mij
=
ìïí
1，若从ei经若干支路可达e
；
j
ïî 0，否则。
的n×n 矩阵 M，称为图D的可达性矩阵。
• 可达性矩阵标明所有S的单元之间相互是否存在可达路径。
• 如从 出发ei经 k 段支路到达 ，称 到 e可j 达且“e长i 度”为ei k。
4
5
• Interpretive Structure Model • 解析结构模型属于静态的定性模型。 • 它的基本理论是图论的重构理论，通过一些基本假设和图、矩阵的 有关运算，可以得到可达性矩阵；然后再通过人-机结合，分解可 达性矩阵，使复杂的系统分解成多级递阶结构形式。 • 在总体设计、区域规划、技术评估和系统诊断方面应用广泛。 • 要研究一个由大量单元组成的、各单元之间又存在着相互关系的系 统，就必须了解系统的结构，一个有效的方法就是建立系统的结构 模型，而结构模型技术已发展到100余种。
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性质：
• 一般对于任意正整数r(≤n)，若ei到ej是可达的且“长度”为r，则Ar中第 i 行第 j 列上的元素等于1。
• 对有回路系统来说，当 k 增大时，Ak 形成一定的周期性重复。 • 对无回路系统来说，到某个 k 值，Ak=0。
1
3
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
关系图
可达性矩阵
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区域划分表
i
R(ei)
1
1
2
1,2