in a
17. 证明：设 {U n } 是单调递增的有界正数列， 判断级数 ∑ (1 −
n =1
结论．
∞
ww
解： ∑ (1 −
n =1
Un ) 为正项级数 U n +1
∞ 1 1 U ． 收敛． (U n +1 − U1 ) ≤ (M − U1 ) ，故 ∑ (1 − n ) 收敛 U1 U1 U n +1 n =1
co
D xy
0
1
15 π 2
m
w.
ww
正向边界。故在复连通区域 D1 ∫ xdy2− ydx 满足格林公式条件，故 2 L +l
−
zh
∫
L+ l
−
xdy − ydx xdy − ydx xdy − ydx xdy − ydx = ∫∫ 0dσ = 0 即 ∫ = − ∫− =∫ 2 2 2 2 2 2 D1 L 4x + y l 4x + y l 4x2 + y2 4x + y
设 U n ≤ M ，则 Sn ≤
nc h
∞
解： l 0 = 1 (1, −1, 0)
e.
16. 在 椭 球 面 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 上 求 一 点 ， 使 函 数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在 该 点 沿 方 向
Un ) 是否收敛，并证明你的 U n +1
, 2
−y
x2 + y2
,1}dxdy
2π 2
= ∫∫ z 2 dxdy = − ∫∫ ( x2 + y2 ) dxdy = −∫ dθ ∫ ρ3 d ρ = −
∑
五、
综合题（每小题 5 分，共 10 分）
l = (1, −1, 0) 的方向导数最大，并求出最大值．
2
∂f = f x cos α + f y cos β + f z cos γ = 2( x − y) ∂l
有连续偏导，满足格林公式条件。 � ∫L
（2）故当 R > 1时，构造曲线 l : 4 x2 + y2 = ε 2 （ ε 取得足够小保证 l 含在 L 所围区域）
⎧ x = 1 ε cos θ ， 方向为逆时针 方向为逆时针， 即l⎪ 则曲线 L + l − 围成复连通区域 D1 且为 D1 的 θ : 0 → 2π 。 2 ⎨ ⎪ ⎩ y = ε sin θ
解： P = xy ( x + y ) − yf ( x ) ， Q = f ′( x ) + x 2 y
Qx = f ′′( x) + 2 xy = Py = x 2 + 2 xy − f ( x) f ′′( x ) + f ( x ) = x 2 f ′′( x ) + f ( x ) = 0 的通解为 c1 cos x + c2 sin x
4x + y
e.
co
m
15. （10 分）计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2d xd y ，其中 ∑ 为锥面 z = x 2 + y 2 被 z = 1, z = 2 所
∑
截部分的外侧．
2 解 I = ∫∫ ⎪ ⎨ y , −x , z } ⋅{ ∑
⎧ ⎪ ⎩
−x
x2 + y
（A）条件收敛；
（B）绝对收敛； （C）发散；
（D）收敛性与 λ 有关。
4． 设二元函数 f (x, y) 满足 f x′(0, 0) = 1, f y′(0, 0) = 2 ，则（ D （A） f ( x , y ) 在点 (0, 0) 连续；
zh
（B） df ( x, y) |( 0,0) = d x + 2d y ；
1 3 1
（-3 ，-1 ，3） 故满足题意的点为 故满足题意的点为（ -3， -1，
11. 将函数 f ( x ) =
2
解： f ( x ) =
1 1 1 = − ( x + 1)( x + 2) x +1 x + 2
∞ 1 1 1 xn = = ∑ ( −1) n n +1 ( −2 < x < 2) x + 2 2 1 − ( − x) n = 0 2 2
阅卷教师签字：
1． 对于微分方程 y′′ + 3 y ′ + 2 y = e − x ，其特解 y* 设法正确的是（ B ） ．
2． 设空间区域 Ω：x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2，z ≥ 0 ， Ω1：x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2，x ≥ 0，y ≥ 0， z ≥ 0 ， 则 ( c ) ． （A） ∫∫∫ xdxdydz = 4 ∫∫∫ xdxdydz ； （B） ∫∫∫ ydxdydz = 4 ∫∫∫ ydxdydz ；
zh
in a
∫
2π 0
1 展开为 x 的幂级数． x + 3x + 2
∞ 1 1 = = ∑ ( −1)n xn (− 1 < x < 1) x + 1 1 − (− x ) n = 0
nc h
∞
F ∂z F yF ′− 2 F2′ ∂z xF ′ ， =− x =− 1 =− y =− 1 ∂x Fz F2′ ∂y Fz F2′ ∂z ∂z x +z = 2x ∂x ∂y 10. 在曲面 z = xy 上求一点，使该点处的法线垂直于平面 x + 3 y + z + 9 = 0 ．
密封装订线
ww
班 级
w.
（C）
∂f | = cosα + 2cos β ，其中 cos α, cos β 为 l 的方向余弦； ∂l (0,0)
（D） f (x, y) 在点 (0, 0) 沿 x 轴负方向的方向导数为 −1 ．
二、 填空题（每小题 4 分，共 16 分） ．
5. 设函数 f ( x, y ) = x + ( y − 1) arcsin
f ( x ) = ∑ ( −1)n (1 −
n= 0
e.
1 2n +1 ) xn ( −1 < x < 1)
1 0
解：
w.
12. 计算 I =
∫∫∫ z d x d y d z ， Ω 是由曲面 z =
Ω
4 − 3( x 2 + y 2 ) 及 z = x 2 + y 2 所围成的闭区域．
2π 0 4 −3 r 2
Ω Ω1 Ω Ω1
学 号
（C） ∫∫∫ zdxdydz = 4 ∫∫∫ z dx dy dz ； （D） ∫∫∫ xyzdxdydz = 4 ∫∫∫ xyz dx dy dz
Ω Ω1 Ω Ω1 ∞ ∞ λ π 3．设 an > 0 (n = 1, 2,......) ，且 ∑ an 收敛， λ ∈ (0, ) ，则级数 ∑ ( −1)n ( n tan ) a2 n （ n 2 n =1 n =1
14. （10 分）计算积分 � ∫
L
xdy − ydx ，其中 L 为圆周 ( x − 1) 2 + y 2 = R 2 (R ≠ 1)（按逆时针方向） ． 2 2 4x + y
解∵ P =
−y x ∂Q ∂P ,Q = 2 ,∴ − =0 2 2 4x + y 4x + y ∂x ∂y
2
（1）故当 R < 1时，∵ P =
1 2 1 ε cos 2 θ + ε 2 sin 2 θ 1 2π 2 2 dθ = ∫ dθ = π 2 ε 2 0
=∫
2π
0
in a
2
−y x 在 ( x −1) 2 + y2 ≤ R2 ( R ≠ 1) 所围的区域 D 内 ,Q = 2 2 2 4x + y 4x + y
nc h
xdy − ydx = 0d σ = 0 4 x 2 + y 2 ∫∫D
解：令 F ( x, y, z ) = z − xy ，则在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的法向量为 ( − y 0 , −x 0 ,1) ，平面 x + 3 y + z + 9 = 0 的法向量为 (1, 3,1) 。 − y0 = − x0 = 1 ，得 x0 = −3, y0 = −1 ，又 z0 = x0 y0 得 z0 = 3 ，
−
1 4
， S (9) = ．
0
．
8. 幂级数 ∑
( x − 2) n 的收敛域为 n2 n =1Leabharlann ∞，3] [1 [1，
三、 解答下列各题（每小题 7 分，共 28 分） ．
9. 设 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( xy, z − 2 x ) = 0 确定的隐函数， F ( u, v) 可微,计算 x
问题变为求 2( x − y) 在 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1下的最大值点。
F ( x, y, z , λ ) = 2( x − y) + λ (2 x2 + 2 y 2 + z 2 − 1)
l = (1, −1, 0) 的方向导数最大值 2 ．
w.
zh
⎧ Fx = 2 + 4λ x = 0 ⎪ ⎪ F y = 2 + 4λ y = 0 解 得 ( x, y, z ) = (± 1 , ∓ 1 , 0) ， 求 得 点 ( x, y, z ) = ( 1 , − 1 , 0) 沿 ⎨ 2 2 2 2 ⎪ Fz = 2λ z = 0 ⎪ F = 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 −1 = 0 ⎩ λ