Ａ
D ●
Ｂ
C
这样的直线有两条：
A
A
D
E
B
C
作DE，使∠AED=∠C
∠A=∠A ∠AED=∠C
△ ADE∽ △ABC
D
E
B
C
作DE，使∠AED=∠B
∠A=∠A ∠AED=∠B
△ AED∽ △ABC
5. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有_3__对
相似三角形。
A
B
AB∥EF AB∥CD EF∥CD
角A 角A
已知：∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
知识要点
角A
√ 判定三角形相似的定理之三 角 A
如果两个三角形的两个角与另一个 三角两形角的对两应个相角等对，应两相三等角，形那相么似这。两个 三角形相似。
A
A1
即：
B
C
如果 ∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且 交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
A
E F
B
C
D
3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？
A
A
A1
D
30°
C
B C1
B1 E 100° F B
C
相似
相似
4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角 形与△ABC相似，这样的直线有几条？
AD DE AE
A
解：∵ AB BC AC，
E
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE
D
C
∴∠BAC=∠DAE B
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
探究2
边S 角A 边S
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
知识要点
H
√ 判定三角形相似的定理之四 L
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
A
B
C
B1
A1 即：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果 AB BC k,
A1B1 B1C1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
AB AD
AC AE
BC, DE
（上比全， 全比上）
D B E C ，A B A C , （下比全，全比下）
AB AC DB EC
A D A E , D B E C , （上比下，下比上）
DB EC AD AE
相似具有传递性
C
E M
A ND
B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
C
A
D
B
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
常用的成比例的线段：
A C B C A B C D A C 2A D A B B C 2B D A B
C D 2A D D B
例题
A
已知：DE∥BC，EF∥AB.
D
E
求证：△ADE∽△EFC. B
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知）
F
C
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）
相似三角形对应高的比等于相似比 A1
A
B
D C B1
证明：∵△ ABC∽ △ A1B1C1
D1 C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
知识要点
边S
边S
√ 判定三角形相似的定理之一 边 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等三，边那对么应这成两比个例三，角两形三相角似形。相似。
A
B
C
B1
A1
即：
如果
AB A1B1
BC B1C1
AC , A1C1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
小练习
已知：AB BC AC，求证：∠BAD=∠CAE。
B1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
△ADE∽△ABC △AMN∽△ABC
△AMN∽△ADE 共有三对相似三角形。
回顾并思考
三角、三边对 边 S 边 S 角 A 角 A 斜 H
应相等的两个 边 S 角 A 边 S 角 A 边 L
三角形全等
边S 边S 角A 边S 与 直
三角对应相等, 三
角
边对应成比例的两
边
个三角形相似
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
C E
A DB
（2） ∵△ADE∽△ABC ∴ AEDE,即 50 DE. AC BC 5030 70 所以 ,DE 507043.75(cm). 5030
判定三角形相似的定理
A型
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
即：
在△ABC中，
D
E
如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
B
C
推论
平行于三角形一边的直线截其它两边，
所得的对应线段成比例。
A
即：
在△ABC中，
D
E
如果DE∥BC，
B
C
那么
AD AB
AE AC
DE, BC
6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12
cm，那么A′B′C′的最大边长是________2。4cm
9. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__。
∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角）
∴ AD AB k
A1D1 A1B1
相似三角形对应角平分线的比等于相似比 A1
A
B D C B1 证明：∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
D1
C1
∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1 ∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线 ∴ ∠BAD = ∠B1A1D1 ∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角）
C1
你能证明吗？
知识要点
边S 角A
√ 判定三角形相似的定理之二 边 S
如果两个三角形的两组对应边的比相 等，并两且边相对应应的成夹比角例相，等且，夹那角么相这等两，个三 角形相似。 两三角形相似。
A
A1
即： AB BC k,
B
C
如果 A1B1 B1C1 ∠B =∠B1 .
B1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
探究1
边S 边S 边S
AB BC AC
已知：
A1B1
B1C1
. A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段
A
1
B
（或它的延长线）上截
1
取 A1DAB，过点D作 DE∥B1C1 ，交 A 1 C 1 于点E
根据前面的定理可得 A 1D E ∽ A 1B 1C 1.
△AOB∽ △FOE
△AOB ∽△DOC E
△EOF∽△COD
C
O F
D
6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个
三角形__全__等____。
7. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长
为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC
的相似比是________。
4︰3
8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、
A1
A
D
E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又 A A 1B B1B B 1C C1A A 1C C1,A1DAB
∴ DEBC, A1EAC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DEBC, A1EAC
∴
A 1D E≌ ABC （SSS）
∵ ∴
A 1D E ∽ A 1B 1C 1 ABC ∽ A 1B 1C 1
∴ AD AB k
A1D1 A1B1
相似三角形对应中线的比等于相似比 A1