y=2x2+1
y=2x2
2.不同点: (1)它们的顶点不同:y=2x2的顶点 在原点,顶点坐标为(0,0);y=2x2+1的 顶点在y轴上,顶点坐标为(0,1). (2)最小值不同,y=2x2的最小值为 0,y=2x2+1的最小值为1.
总结：二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象之间的关系:二次函数 y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数y=2x2+1的图象;将 函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度,就得到函数y=2x2-1的图象.
(1)完成下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 18 8 2 0 2 8 18
(2)在课本图2 - 4中画出y=2x2
的图象.
y=2x2
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的 图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.
2.二次函数y=2x2的图象与二次函数 y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相 同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线 x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4) 在y轴左侧,y值随x值的增大而减小； 在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5) 都有最低点,即原点.函数都有最小值.
y=2x2 y=x2
x
5.在同一个直角坐标系中作出y= 1 x2,y= 1 x2-1的图象,比较
它们的异同,并找出它们的关系. 2
2
解:列表:
x
… -2 -1 0 1 2 …
y= 1 x2
2
x
…2
-1
2
0
1 2
[知识拓展]
1.二次函数图象的平移规律:y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象
整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度;当c<0时,向下移动
|c|个单位长度.简记为:“上加下减”.
2.二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质:
检测反馈
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( B )
A.y=-x+1
1
C.y= x
B.y=x2-1 D.y=-x2+1
解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错
误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增
大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正 确.C,y= 1 ,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错
1
2.不同点：y= 2 x2 的图象在y=2x2 和y= x2 的图象的外侧，开口较 大.y= 1 x2中函数值的增长速度较慢.
2
y=2x2 y=1 x2
2
y=x2
强调：二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线 的开口方向:①a>0时,开口向上；②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的 开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快；②︱a︱越小,开口 越大,函数值变化得越慢.
x
误;D,y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而
减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而增大,错误.故
选B.
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是
A.直线x= 1 B.直线x=- 1
2
2
C.y轴
D.直线x=2
(C )
解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.
九年级数学·下 新课标[北师]
第二章 二次函数
学习新知
检测反馈
观察思考
学习新知
观察下面的二次函数表达式:
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=-2x2 ；(4)y=3x2 ；
1
(5)y= 2
x2.
它们有什么共同点和不同点? (3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什 么不同点?
二次函数y=ax2的图象与性质 探究活动一:画二次函数y=2x2的图象
3.二次函数y=2x2的图象与二次函 数y=x2的图象的不同点:两个函数图 象的开口大小不同,y=2x2的图象在 y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函 数值的增长速度较快.
【想一想】 在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=2x2的图象,会是什么样?
探究活动二:画出y=
1 2
x2的图象
【想一想】 在课本图2 - 4中画出y= 1 x2的图象. 2
【问题】 它与二次函数 y=x2，y=2x2的图象有什么相同 和不同?
小结: 1.相同点:(1)开口方向相同,都向 上.(2)对称轴都是y轴(或直线 x=0).(3)顶点都是原点,坐标为 (0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大 而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大 而增大.(5)都有最低点,即原点.函数 都有最小值.
[知识拓展] 二次函数y=ax2的图象和性质: 1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原 点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x 值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0. 2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原 点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x 值的增大而减小.(5)当x=0时,y最大=0.
3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是 a>2 .
解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.
4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于 x 轴对称.
解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点 坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.
二次函数y=ax2+c的图象与性质
二次函数y=2x2&1.相同点:(1)它们的图象都是抛 物线,且形状相同,开口方向都向 上.(2)它们都是轴对称图形,且对称 轴都是y轴.(3)在y轴左侧,y随x的增 大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而 增大.(4)都有最低点,y都有最小值.