第十五讲 二次函数的图像与性质
二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、二次函数的表示方法：
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，
c bx ax y ++=2
=a b ac a b x a a c a b a b x a b
x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222
-+
+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2
ax y =的图像的形状、开口方向均相同， 只是位置不同，可以通过平移得到。

2、二次函数c bx ax y ++=2
的图像特征
（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； 3、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．
当2b
x a
<-时，y 随x 的增大而减小； 当2b
x a
>-
时，y 随x 的增大而增大； 当2b
x a
=-时，y 有最小值244ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．
当2b
x a
<-时，y 随x 的增大而增大； 当2b
x a
>-
时，y 随x 的增大而减小； 当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -．
3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
例1 已知函数y= x 2 -2x -3 ,
（1）把它写成k m x a y ++=2
)(的形式；
并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？ （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图；
( 5 ) 设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积； （6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
例2、求抛物线2
5
3212-+-=x x y 的对称轴和顶点坐标。

变式：
2、
例3、已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。

变式：
二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12
x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
2214b ac
AB x x a
-=-=
. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，
b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的
内在联系：
二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标， 一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值， 一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标， 一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点， 常选用顶点式．
例1、抛物线y=x 2
-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( )
A .－16
B .－4 C.8 D.16 例2、已知抛物线2
234
y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）
．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；
练习1、已知关于x 的二次函数y=2x 2
－（3m+1）x ＋m （m>1）. 证明使y=0的x 的值有两个；
0∆> 抛物线与x 轴有
两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<
抛物线与x 轴无交点
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
例3、已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋ 4.
探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
例4、已知：关于x 的函数772
--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，k 的取值范围是（ ）
A 、k ＞47
B 、k ≥47且k ≠0
C 、k ≥47-
D 、k ＞4
7
-且k ≠0
练习1、关于x 的一元二次方程02
=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2
的顶
点在（ ）。

A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例5、抛物线2
y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02
=++-c bx x 的两根
为
.
练习：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；
（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；
（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。

例7：抛物线m x y x
++=
-22
与X 轴的一个交点是A(3，0）
，另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，
（1）求m 的值；
（2）求点B 的坐标；
1 3 2
2
练习：
课后练习：。