中考第二轮专题复习九：动手操作问题【知识网络梳理】在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题．动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．因此．实验操作问题将成为今后中考的热点题型．题型1动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念．二、【知识运用举例】（一）动手问题例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（）(第1题) (第2题) 例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°例3．（2006年广州市）如图（1），将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图（2）的图案，则图（2）中阴影部分的面积是整个图案面积的（）A．22B．14C．17D．18(第3题)(第4题)例4．（2006年河南省）如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE＝4，CE＝3BF，•那么这个四边形的面积是___________．（二）证明问题例5．（07浙江省）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH（图4）（图5）（图6）（三）探索性问题例6．（07青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC 与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝12AD时（如图②）：∵AP＝12AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝12S△ABD ．∵PD＝AD－AP＝12AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝12S△CDA ．∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－12S△ABD－12S△CDA＝S四边形ABCD－12(S四边形ABCD－S△DBC)－12(S四边形ABCD－S△ABC)＝12S△DBC＋12S△ABC ．（2）当AP＝13AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝16AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；（4）一般地，当AP＝1n AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝mn AD（0≤mn≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．例7．（07孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？图①PDCBAAB CDP图②PDCBA（3）设矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为y kx =，当M BC '∠＝60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？三、【知识巩固训练】:1．在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线z ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L 有___条．2． （2006年东营）如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动______________格．3．（2006年台州）小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用 分钟． 4．(2006年湖南省郴州)如图，将一副七巧板拼成一只小动物，则AOB ∠=____________．5．(2005年北京海淀) 印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码. 如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．6．（2006年湖南湘西）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．__________ 7．（2006年荆州）如图的梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，且AD ＝AB ，∠C ＝45°．将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形．（在图形中直接画分割线，不需要说明）8．（2006年咸宁）在一张长为9cm ，宽为8cm 的矩形纸片上裁取一个与该矩形三边都相切的圆片后，余下的部分中能裁取的最大圆片的半径为________cm ．A BDC AOB9．（2005年佛山市）如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是_________度．10．（2006年枣庄）右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是______________．11．（2005年福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）．按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形D ．两个直角三角形，一个等腰梯形12．（2006年浙江）Rt △ABC 中，斜边AB ＝4，∠B ＝60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（ ）A ．3πB ．3π2C ．πD ．3π413．(2006年天门) 如下图a ，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图a 的阴影部分拼成了一个矩形，如图b ．这一过程可以验证 （ ） A 、a 2＋b 2－2ab ＝(a －b) 2B 、a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b) 2C 、2a 2－3ab ＋b 2＝(2a －b)(a －b)D 、a 2－b 2＝(a ＋b) (a －b)14．（2006年广安）用一把带有刻度尺的直角尺， ①可以画出两条平行的直线a 和b ， 如图（1）； ②可以画出∠AOB 的平分线OP ， 如图（2）； ③可以检验工件的凹面是否为半圆， 如图（3）； ④可以量出一个圆的半径， 如图（4）. 这四种说法正确的有 （ ）图（1） 图（2） 图（3） 图（4） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个15．（2006年嘉兴）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换：①先以点A 为中心顺时针旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针旋转90°；③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针旋转90°．其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是 （ ）CABB'A'A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③17．如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥，则BAC ∠的度数是 （ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°18．（2006年吉林）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ） A ．18 B ．16C ．12D ．819．（2006年舟山）假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去.例如，密封爬到1号蜂房的爬法ABC OPQREFMNaa b b 图a图b（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）上折① ② ③ ④0号 2号 4号 1号 3号有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号，共有2种不同的爬法.问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有几种不同的爬法（ ） A.7 B.8 C.9 D.1020．（2006年晋江）如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A ．41cm2B ．4n cm2C ．41-n cm2 D ．n)41( cm221．（07云南省）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n ＋1）的一条腰长为________________．22（07绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角： （1）以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（ ） A ．60︒ B ．67.5︒ C ．72︒ D ．75︒23（07内江）把一张正方形纸片按如图（3）对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）24．（1）如图（1），有两个正方形花坛，准备把每个花坛分成形状相同的四块，•种不同的花草，图中左边的两个图是设计示例，请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案．（2）在下面的图形中，用两种不同的设计方案，将正方形八等分，画出图案．图（2）25．（2006年浙江省）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片．将它折两次（•第一次折后也可以打开铺平再折第二次）．使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作）．① ② ③ 26．（2006年鸡西市）已知∠AOB ＝90°，在∠AOB 的平分线图（3）A ．B ．C ．D ． （第18题）A 1A 2 A 3 A 4AB COM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD到OA垂直时（如图1），易证：OD＋OE＝2OC ．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，•上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．27．操作，在△ABC中，AC＝AB＝2，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，射线CB于D，E两点，•图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．探究：（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？•它们的关系为_________，并以图②为例，加以证明．（2）三角板绕P点旋转，△PBE能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长）；若不能，说明理由．（3）若将三角板直角顶点，放在斜边AB的M处，且AM：MB ＝1：3和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系？直接写出结论，不必证明．（图④供操作，实验用）结论为．28．（2006年广州市）在△ABC中，AB＝BC，将△ABC•绕点A•沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，使点C1落在直线BC 上（点C1与点C不重合）．（1）如图①，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在图②中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，•不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由．29．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1，将纸片折叠，•使顶点A•与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G（如图①），AF＝23，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图②），△AED的外接圆与直线BC•相切，求折痕FG的长．。