动手操作型问题10．（2012湖北荆州，10，3分）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( )A ．8048个B ．4024个C ．2012个D ．1066个【解析】本题是规律探索题。

观察图①有4个直角三角形， 图②有四个直角三角形，图③有8个直角三角形，图④有8个直角三角形，图⑤图⑥有12个直角三角形…… 可以发现规律图②→图④→图⑥→图⑧→…… 4 → 8 → 12 → 16 →……直角三角形的个数，依次增加4个，并且图形中直角三角形的个数是图形序号的2倍， 所以第2012个图形中直角三角形的个数有4024个 【答案】B【点评】对于规律探索题，关键是寻找变化图形中的不变的规律。

（2012·哈尔滨，题号22分值 6）22． 图l 、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A 和点B 在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出△ABC(点C 在小正方形的顶点上)，使△ABC 为直角三角形(画一个 即可)；(2)在图2中画出△ABD(点D 在小正方形的顶点上)，使△ABD 为等腰三角形(画一个即可)；【解析】本题考查网格中的作图能力、勾股定理以及等腰三角形性质. （1）可以分三种情况来考虑：图① 图② 图③以A （Ｂ）为直角顶点，过A （Ｂ）作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上） 以C 为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是3、4或5、20； （2）也分可分三情况考虑：以A （B ）为等腰三角形顶点：以A （B ）为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C ； 以Ｃ为等腰三角形顶点：作AB 垂直平分线连确定点C （点Ｃ不能落在格点上）.【答案】【点评】本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论的数学思想，有一定的难度，容易错解和漏解．25. ( 2012年四川省巴中市,25,9)①如图5,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB,请将△OAB 绕点O 顺时针旋转900,画出旋转后的△OA′B′ ②折纸:有一张矩形纸片如图6,要将点D 沿某直线翻折1800,恰好落在BC 边上的D′处,请在图中作出该直线.【解析】①如图△OA′B′即是旋转900后的图形，②折痕为直线DD′的垂直平分线EF.【答案】画图见解析BC图5图6【点评】本题是对图形变换中的旋转及轴对称变换的考查.24．(2012广安中考试题第24题，8分)（8分）现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm。

若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和。

思路导引：动手操作，注意分类讨论，进行长度计算问题，联系平行四边形的性质：对角线互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分别对每一种情况进行解答解析：设AB=AC=xcm，则BC=（x+2）cm，根据题意得出x＋2＋2x=32，解得x=10。

因此AB=AC=10cm，BC=12cm，过点A做AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=6cm，，可以拼成4种四边形，如图所示：图（1）中两条对角线之和是10＋10=20（cm），图（2）中两条对角线之和是（6）（cm），图（3）中，两条对角线之和是（8）（cm），图（4）中，S△ABC=12AC×BC=12AB×OC，所以OC=AC BCAB⨯=245，两条对角线之和是245×2＋10=19.6（cm）；点评：几何图形的有关剪切、拼接的动手操作问题，往往多解，因此应当分类讨论，分类个数根据得出的几何图形的判定方法以及性质进行，图形的有关计算，往往联系直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数进行.专项四动手操作型问题（38 ）22．（2012北京，22，5）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P'.点A B，在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A B''，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是 ；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是 ；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。

已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，求点F 的坐标。

【解析】（1）–3×13+1=0；设B 点表示的数为a ，13a +1=2，a =3；设点E 表示的数为a ,13a +1=a ，解得a =32(2)由点A 到A ’，可得方程组3102a m a m -+=-⎧⎨⨯+=⎩；由B 到B ’，可得方程组3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩，解得12122a m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩设F 点的坐标为（x ,y ），点F ’与点F 重合得到方程组1122122x x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，即F （1，4）【答案】（1）0，3，32（2）F （1，4）【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组，并解方程组的知识。

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（2012北京，23，7）已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。

请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。

【解析】利用已知条件求二次函数及一次函数解析式。

平移后的临界点讨论。

【答案】解：（1）由题意0x =和2x =时的函数值相等可知，233(1)22(2)222t t =+⨯++⨯+ 解得32t =-，∴二次函数的解析式为21322y x x =-++（2）∵二次函数图象必经过点A ∴213(3)(3)622m =-⨯-+-+=-∵一次函数y =kx +6的图象经过点A∴–3k +6= –6，∴k =4（3）由题意可知，点B C ，间的部分图象的解析式为()()1312y x x =--+，13x -≤≤则向左平移后得到的图象C 的解析式为()()312y x n x n =--+++113n x n ---≤≤此时平移后的解析式为46y x n =++由图象可知，平移后的直线与图象C 有公共点，则两个临界的交点为()10n --，与()30n -， 则()0416n n =--++ 23n =()0436n n =-++ 6n =∴263n ≤≤【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。

此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n 的取值范围。

24．（2012北京，24，7）在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。

（1） 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；坐标为（3-n,0）（2） 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且P Q Q D =，请直接写出α的范围。

【解析】动点问题和几何变换结合【答案】⑴30CDB ∠=︒⑵ 连接PC AD ，，易证APD CPD △≌△∴AP PC = A D B C D B ∠=∠ P A D P C D ∠=∠ 又∵PQ PA =∴2PQ PC ADC CDB =∠=∠，，PQC PCD PAD ∠=∠=∠∴180PAD PQD PQC PQD ∠+∠=∠+∠=︒∴()360180APQ ADC PAD PQD ∠+∠=︒-∠+=︒ ∴1801802ADC APQ α∠=︒-∠=︒-∴21802CDB α∠=︒- ∴90CDB α∠=︒-⑶ ∵90CDB α∠=︒-，且PQ QD =∴21802PAD PCQ PQC CDB α∠=∠=∠=∠=︒- ∵点P 不与点B M ，重合∴BAD PAD M AD ∠>∠>∠ ∴21802ααα>︒-> ∴4560α︒<<︒【点评】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。

需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。

C25．（2012北京，25，8）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）。