（2）△AMN是等边三角形．理由如下： 解：（1）CD=BE． ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点， 理由如下： ∴AM=AN，NC=MB． ∵△ABC和△ADE为 ∵AB=AC， 等边三角形， ∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AE=AD， ∴∠MAB=∠NAC， ∠BAC=∠EAD=60°， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形，（7分） ∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60 设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a， °﹣∠EAC， 易证BE⊥AC， ∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60 ∴BE= ， °﹣∠EAC， ∴EM= ， ∴AM= ， ∴∠BAE=∠DAC， ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴△DAC≌△EAB， ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN ∴CD=BE．）
2
例6：如图,正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD上 ,EF=BE+DF. （1）求证：∠EAF=45° （2）若将EF=BE+DF与∠EAF=45°互换,其他条件不变,结论 是否仍然成立 ?说明理由. ⑴证明： 把⊿ABE绕A逆时针旋转90º,到达⊿ADG ∵EF=BE+DF FG＝FD+BE ∴FG＝FE又 AE＝AG AF＝AF∴ΔAFE≌ΔAFG ﹙SSS﹚ ∴∠FAE＝½ ∠FAG＝45º ⑵ 成立. 理由如下： 把⊿ABE绕A逆时针旋转90º,到达⊿ADG, ∠FAG＝90º-∠FAE＝45º＝∠FAE ∴ΔAFE≌ΔAFG ﹙SAS﹚ ∴EF＝GF＝BE+DF
:
=a ：（2a）：（
2
2பைடு நூலகம்
）=1：4： =4：16：7
2
例1. 如图1，P是正三角形ABC内的一点， 且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
B B
F P A C A P C
（1）
（2）
解：如图2，∵△ABC是等边
三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵PP′2+PB2=62+82=100=P′B2， ∴△BPP′是直角三角形， 把△APC绕点A逆时针旋转60° ∠BPP′=90°， 得到△AP′B， ∴∠APB=∠APP′+∠BPP′= 由旋转的性质，AP′=AP，P′B=PC=10， 60°+90°=150°， ∠PAP′=60°， 故∠APB的度数是150°． ∴△APP′是等边三角形，
解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长， 此时θ=∠ACA′=120°， ∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°， ∴A′C=AC=1/2 A′B′=2， ∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90° ∴CP=1/2 A′B′=2，EC=1/2×2=1， ∴EP=EC+CP=1+2=3． 故答案为：120；3．
例5；如图，等腰直角△ABC中， ∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶 点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.
⑴求∠DCE的度数； ⑵当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.
解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的， ∴△ABD≌△CBE， ∴∠A=∠BCE=45°， ∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90° （2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB=4，∴AC=4 又∵AD︰DC=1︰3， ∴AD= 2 ，DC=3 2 由（1）知AD=CE且∠DCE=90°, ∴DE 2 =DC 2 +CE 2 =2+18=20，∴DE=2 5
例3：如图（1），P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3 （1）∠APB=______． （2）求此正方形ABCD面积。
（1） （2）
（3）
解：如图（2）将△APB绕B点顺时针旋转90° 并连接PE， ∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC， ∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC， ∴△BEP为等腰直角三角形， ∴∠BEP=45°， ∵PB=2， ∴PE=2 2 ∵PC=3，CE=PA=1， ∴PC 2=PE 2+CE 2 ， ∴∠PEC=90°， ∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
例2：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60° 得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形． （2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形． 理由是：∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=150°， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°， 即△AOD是直角三角形． （3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO． ∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD． ∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α， ∠AOD==120°﹣， ∴190°﹣α=120°﹣， 解得α=140°． 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
例7：（2009湖南常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M， N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？ 若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角 形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及 △AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
例:4：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， 将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为 (0°＜＜180°)，得到△A1B1C． (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D． 证明：△A1CD是等边三角形； (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的 面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a， 连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为
（2）如图（3）四边形ABCD为正方形,PA=1,PB=2,PC=3, 把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD,把△CPB绕C点 顺时针旋转90°得△CFD,连PE,PF,如图, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, 而∠1+∠3=90°, ∴∠2+∠4=90°, 而∠ADC=90°, ∴∠EDF=180°,即E,D,F共线； 由旋转的性质得到△APE,△CPF均为等腰直角三角形, 并且ED=PB=2,DF=PB=2, ∴S△APE=0.5×1×1=0.5； S△CPF=0.5×3×3=4.5, 在△PEF中,PE=√2,PF=3√2,EF=4, ∴PF2=PE2+EF2, ∴△PEF为直角三角形,∠PEF=90°, ∴S△PEF=0.5×EP×EF=0.5×√2×4=2√2 ∴S正方形ABCD=S五边形APCFE=S△PEF+S△APE+S△CPF=√2+5．