号的和 体一、 系级平
j 1
法数均
1 xi n xi
an
x
xij
第i水平均值 全部观察值的和
表据数 示，、 ，在大 要本总 注章和
i1 j1
1 x an x
总平均值
意我、 熟们总 悉采平
Si2
1 n 1
a i 1
( xij
xi )2
第i水平上的子样方差
和用均
可xij以分解为
xij i ij
、(i
)
i、( xij
i
)
的估计值。
ij
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理 内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变 异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
总均方的拆分是通过将总均方的分子──称为总离均差平
方和，简称为总平方和(total sum of squares，SST) ，剖分成
方差分析中常用基本概念
（一）试验指标(experimental index)
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体 测定的性状或观测的项目。
（二）试验因素 (experimental factor)
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时， 则称为两因素或多因素试验。 按是否可控制因素可分为：固定因素和随机因素．
方差分析(analysis of variance－ANOVA)
是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据 之间平均数差异显著性的．
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放在一起， 一次比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如果没 有显著性差异，则认为各组平均数相同；如果发现有差 异，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同．
次重复，共有na 个观测值。这类试验资料的数 据模式如表7-1所示。
表7-1 单因素方差分析的典型数据模式
X1 X2
X3
… Xi … Xa 合计
1
χ11 χ21 χ31
χi1
χa1
2
χ12 χ22 χ32
χi2
χa2
3
χ13 χ23 χ33
χi3
χa3
…
… ……
…
…
j
χ1j χ2j χ3j
χij
χaj
表i 示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的 影响大小，将 再进i 行分解，
令
1 a
a
i
i 1
ai i
则 xij ai ij
其中μ表示全试验观测值的总体平均数(overall mean)，
是第i个处理ai的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
因素固定、效应也固定
a
反应到线性模型中即 ai为常数．可要求 i 0 i 1
1. 假设
固定模型的零假设为： H0 :1 2 a 0 备择假设为： H A :i 0
2. 平方和与自由度的剖分
xij x (xi x ) (xij xi )
x、(xi x )、(xij xi )分别是
第10章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复，测 定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）．问用6 种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3 2 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4 3 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1 4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9 5 33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8
处理间平方和(sum of squares between treatments ，SSA)与处
（四）重复 (repeat)
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位 上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重 复数。
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
一、线性模型
（一）线性模型 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有n
生的影响。
ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
xij
i
ij
i 1,2,
j
1,2,
a n
上式就称为单因素试验的线性统计模型（linear statistical model）亦称数学模型。
方差分析的目的就是要检验处理效应的大小和有无。
（二） 方差分析的基本思路
将总的变差分解为构成总变差的各个部分。即
固定因素：可准确控制且其水平固定后效应也固定，比如： 温度、化学药物浓度等．
随机因素：因素水平不能严格控制或者说即使其水平可控 制但其效应也不固定．比如：动物的窝别、农家肥的效果等．
试验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
（三）因素水平(level of factor)
试验因素所处的某些特定状态或数量等级称为因素水平， 简称水平。比如：不同的温度；溶液不同浓度等．
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值总变异的 平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由 度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；通过这些估 计值的适当比值，就能检验各样本所属总体均值是否相等。
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model:
• 在多组数据的平均数之间做比较时，可以 在平均数的所有对之间做t检验，但这样做 会提高犯I型错误的概率，因而是不可取的。 方差分析可以防止该问题的出现。
• 如对5个平均数进行检验，若做t检验，则 需做10次，假设每一次检验接受零假设的 概率为0.95，那么10次都接受零假设的概 率为（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒绝 零假设的概率为0.40，犯I型错误的概率明 显平加
n
χ1n χ2n χ3n
χin
χan
合计
x1
x2 x3
平均数 x1 x2
Байду номын сангаас
x3
总体均数 1 2
3
处理效应 a1 a2 a3
xi
xa x
xi
xa x
i
a
ai
aa
符号
文字表述
掌了数各
a
因素水平数
握黑是处 。点计理
n
每一水平的重复数
符算总
xij n
xi xij
第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的和