随机效应模型
xij i ij
i 1, 2, , a

j

1,
2,

,
n
其布中，处其理方效 差应为αi为随2 机变量，服从μ=0的独立正态分 在随机效应模型中，对单个αi的检验是无意义。若假
设不存在处理效应，则αi的方差为零，即零假设为 ：
H0
:

2
方差分析统计量：Fdf A ,d来自eMS A MSe
若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都
只反映随机误差( 2 )的大小，此时处理均方 ( MSA)和误差
均方(MSe)大小相当，F 值则接近1，各组均数间的差异没
有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅
包含随机误差，还有处理效应引起的变异
方差分析应具备的条件
3、方差齐性(Homogeneity)：
方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而获 得一个共同的误差方差，因此必须假定资料中有这 样一个共同的方差σ 2存在(Bartlett检验法)
如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理效 应得不到正确的反映。
xij i ij , ij (0, 2 )
**
多重比较的SPSS实现
例8.1：小麦株高与品系的关系研究-多重比较
Post Hoc Test
多重比较的SPSS实现
SPSS Duncan’s test output (1)
结果的解读：除品系1、2之间外，其它各品系间均 存在显著差异。
多重比较的SPSS实现
SPSS Duncan’s test output (2)
Between Groups: 处理间 Within Groups: 处理内
AN OVA
df 4 20 24
Mean Square 32.935
.779
F 42.279
Sig. .000
F4,20＝42.279，P≈0.000<0.01。因此，上述 5个小麦品系的株高差异极显著。
多重比较
当 对方 之差 间分 存析 在拒显绝著差H0异，，为须探对究各具处体理是平在均哪数些之组 间进行逐对比较，即多重比较（multiple comparison）— post-ANOVA analysis (Post Hoc test)。
备择假设为：
HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
固定效应模型
平方和与自由度的分解
an
2
an
2
xij x
xij xi xi x
i1 j1
i1 j1
a n
2
an
an
2

xij xi 2
(by RA Fisher)
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
n
xi xij ,
j 1
xi

1 n
xi ,
i 1, 2,, a
a n
x
xij ,
i 1 j1
x

1 an
x
方差分析原理
线性统计模型：
(
n
2 a
)，此时F
值显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F
值的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。
固定效应模型
平方和的简易计算
a n
SST
i1 j1
xij x
2

a i 1
n j1
xi2j
x2 na
a
SSA n
i1
xi x
xij xi 0
i1 j1
i1
j1
处理项与随机误差项的交叉乘积和 = 0
SS SS SS 平方和
的分割
=
T 总平方和
+
A处理平方和
e误差平方和
方差分析应具备的条件
2、正态性(Normality)：
ε: NID(0, σ2)应该是随机的、彼此独立的,服从正态 分布。 正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数的 函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为φ ，方差期望为φ(1-φ)/n，方差与平均数有函数关系 。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进行 反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使误 差转化成近似的正态分布。
xij i ij
i 1, 2, , a

j

1,
2,

,
n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总
平均数。α i是对应于第i次处理的一个参数，称为 第i次处理效应(treatment effect)。ε ij是随机误差， 是服从N(0，σ 2)的独立随机变量。
单因素方差分析的SPSS实现
例8.1：小麦株高与品系的关系研究-单因素固定模型的方差分析
单因素方差分析的SPSS实现
SPSS one-way ANOVA output
株高
Between Groups Within Groups Total
Sum of Squares
131.740
15.580
147.320
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
固定效应模型
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
SS SS SS 平方和
xij xi xi x
xi x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
an
a
n
xij xi xi x
xi x
xij xi 0
i1 j1
i1
j1
a
的分割
=
T 总平方和
+
A处理平方和
e误差平方和
df 自由度
的分割
T
=
总自由度
an 1
df df A
+
处理自由度
e 误差自由度
a 1
an a
MSA SSA /df A
处理均方
MSe SSe / dfe
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
处理效应对均方的贡献
固定效应模型
固定效应模型
xij i ij
i 1, 2, , a

j

1,
2,
,
n
其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离 差的正负值相抵，因此
n
i 0
i1
如有果一不个存α在i≠处0。理因效此应，，零各假α i设都为应：当等于0，否则至少 H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝0
如何进行多重比较？
逐对进行双样本的平均数差的t-检验？ 增大了犯I型错误的概率，不可取
多重比较
多重比较方法：
最小显著差数（LSD）检验 Student-Newman-Keuls（SNK）q检验 Duncan 检验 Dunnett t检验 Tukey 检验 …
多重比较
最小显著差数法（Fisher’s Least significant difference test， LSD）
方差分析原理
固定因素：
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：
①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。 ②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该
因素的所有水平上。
随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
(One-Way ANOVA)
当比较的平均值的数目K≥3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法
1、当有k个处理平均数时，将有 个CK2差数， 要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。 2、试验误差估计的精确度降低。 3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增 加犯I型错误的概率。
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变 量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方 差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总体 平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均 数进行两两之间的比较。
结果的解读：除品系1、2及3、5之间外，其它各品 系间均存在极显著差异。
科学论文中多重比较实例
字母标记法显示结果
各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，没有相 同标记字母的即为差异显著。字母大写表示极显著水平(α=0.01)， 小写表示显著水平(α=0.05)
试用字母标记法表示如下多重比较的结果：
C
B
A
处理 1 2 3 4
均值 18.00 23.00 14.00 29.00
差异显著性（α=0.01) BC AB C A
结论：处理1、4，3、4，2、3之间差异极显著
xi x
2

1 n
a i 1
xi2