•五个水平：品系I-V •重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验
•五次重复
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
n
xi xij,
j1
xi n 1xi,
i1,2,,a
a n
1
x
xij,
i1 j1
x anx
方差分析原理
线性统计模型：
x ijiij
70.0
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
•因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 •因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件
•一个因素：“品系” 单因素方差分析 •水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理”
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
(One-Way ANOVA)
当比较的平均值的数目K≥3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法
1、当有k个处理平均数时，将有 个C K2 差数， 要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。
(by RA Fisher)
例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
72.1
67.1
a n
SST
i1 j1
xij x
2
a
i1
n
xi2j
j1
x2 na
a
SSA n
i1
xi x
2
1 n
a i1
xi2
x2 na
减少计算误差 利于编程
C
x
2
na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：
①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。 ②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该
因素的所有水平上。
随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。
固定效应模型
xij iij
i1,2,,a j1,2,,n
其差中的α正i是负处值理相平抵均，数因与此总平均数的离差，因这些离
55
113164.96
an
SST
xi2j C 113312.28 113164.96 147.32
i1 j1
SSA
1 n
a i 1
xi2
C
5664835.5 5
113164.96
131.74
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
H 0 :1 2 . . . a 0 ; H A :i 0 ( 至 少 有 一 i )
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
72.1
67.1
70.0
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
C
x2 na
16822
n
i 0
i1
如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少 有一个αi≠0。因此，零假设为： H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝0
备择假设为：
HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
固定效应模型
平方和与自由度的分解
an
2 an
2
xijx
xij xi xix
i1 j1
i1 j1
a n
2anan Nhomakorabea2
xij xi 2
xij xi xix
xi x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
an
a
n
x ij x i x i x x i x x ij x i 0
i 1j 1
i 1
j 1
a
n
2a
x ij x n
a
x i x 2
n
2
x ij x i
2、试验误差估计的精确度降低。 3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增 加犯I型错误的概率。
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变 量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方 差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总体 平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均 数进行两两之间的比较。
i 1j 1
i 1
i 1j 1
固定效应模型
a
n
2a
x ij x n
a
x i x 2
n
2
x ij x i
i 1j 1
i 1
i 1j 1
S S S S S S 平方和
的分割
=
T 总平方和
+
A 处理平方和
e 误差平方和
d f 自由度
的分割
T
=
总自由度
an 1
d f d f A
+
处理自由度
e 误差自由度
a 1
ana
M SAS SA /dfA
处理均方
M SeSSe/dfe
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
处理效应对均方的贡献
固定效应模型
方差分析统计量：
FdfA ,dfe
MSA MSe
若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都
只反映随机误差(
2
)的大小，此时处理均方 ( M
S
)和误差
A
均方( M
S
)大小相当，F 值则接近1，各组均数间的差异没
e
有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅
包含随机误差，还有处理效应引起的变异
(
n
2 a
)，此时F值
显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F 值
的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。
固定效应模型
平方和的简易计算
i1 ,2 ,,a j1 ,2 ,,n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总
平均数。αi是对应于第i次处理的一个参数，称为 第i次处理效应(treatment effect)。εij是随机误差， 是服从N(0，σ2)的独立随机变量。
方差分析原理
固定因素：
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。