3、 微分环节 G(jω)= jω
①|G(jω)|= ω 20lg|G(jω)|= 20lgω
为一条斜率 20dB/dec 的直线
ω=1 （lgω=0） 20lg|G(jω)|=0dB →直线通过（1，0）
②
与ω无关
4、 惯性环节：
① 幅频特性：
讨论：a)非线性，用渐近线表示。 b)ω《ωT（低频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgωT=0 一条与 0dB 线完全重合的直线，止于（ωT，0） c) ω》ωT（高频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgω 截距 20lgωT，斜率-20dB/dec,始于（ωT，0） d) 转角频率ωT：低频渐近线与高频渐近线的交点 e) 低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。 高频输出很快衰减。
值越大，曲线范围越小。
②固有频率ωn：曲线与虚轴之交点，此时幅值∣G(jω)∣=1/2ζ
③谐振频率ωr：使∣G(jω)∣出现峰值的频率。
⑤ ωr＜ωd:欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。 7、 延时环节：G(s)=e-sτ=|G|ejφ(ω)
|G(jω)|=1 ∠G(jω)=- ωτ(图 4.2.9) 三、Nyquist 图的一般形式：
§3 Bode 图（对数坐标图）
将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称 Bode 图。 一、坐标构成： 1、 对数幅频特性图： 横坐标：对数分度：lgω1/ω2, 标示：lgω 单位：rad/s 或 s-1 纵坐标：线性分度，20lg| G |, 单位：分贝（dB） 2、 对数相频特性图： 纵坐标：G(jω)的相位∠G(ω)，单位：度 横坐标：同对数幅频特性图 3、 优点： ① 简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。 ② 简化作图过程：对环节的幅值 Bode 图，先用渐近线表示，再修正曲线， 可获得较精确的幅值 Bode 图。 ③ 叠加：叠加法将各环节幅值 Bode 图进行累加，获得整个系统的 Bode 图。 ④ 便于对系统的性能进行观察和分析：横坐标用 lgω1/ω2 作分度，扩展 了低频区，缩小了高频区。（系统主要性能表现在低频区） 二、典型环节的 Bode 图：
此时信号全部通过；
②随ω↑，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞后；
③高频端（ω→∞）时输出振幅衰减至 0，即高频信号被完全滤掉
（实际上是一个低通滤波器）
5、 一阶微分环节：G(s)=Ts+1
G(jω)=jωT+1 →u(ω)=1 v(ω)= ωT
∠G(jω)=arctgωT
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=1
可见，无论 0、Ⅰ、Ⅱ型系统，低端幅值都很大，高端都趋于 0
→控制系统总是具有低通滤波的性能。
四、例题：
1、 已知系统的传递函数
，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.1）
2、已知系统的递函数
，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.2）
3、已知系统的传递函数
，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.3）
ω=1 （lgω=0） 20lg|G(jω)|=0dB
ω=10（lgω=1） 20lg|G(jω)|=-20dB
曲线通过（1，0）、（10，-20）
斜率:-20dB/dec
令 y=20lg|G(jω)|，x= lgω，则 y=-20x
线性关系
②
与ω无关
过（0，90o）平行于横轴的直线。
③若
则
20lg|G(jω)|= 20lgk-20lgω 相当于 y=b-20x
∠G(jω)=00
v(ω)=0
轨迹：一条与实轴重合的直线。
结论：比例环节的幅、相频率特性与ω无关；
输出量的振幅永远是输入量振幅的 K 倍，且相位永远相同。
2、 积分环节：
G(s)=1/s
频率特性：G(jω)=1/jω →∣G(jω)∣=1/ω u(ω)=0
∠G(jω)=-900
v(ω)=-1/ω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=∞ ∠G(jω)=-900
G(jω)是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随ω变化反映系统动态 特性。
3、频域分析比时域容易。 a) 分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析； b) 易于稳定性分析； c) 易于校正，使系统达到预期目标； d) 易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。
§2 频率特性的 Nyquist 图（极坐标图）
∠G(jω)=900
v(ω)=ω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=0 ∠G(jω)=900
ω=∞ ∣G(jω)∣=∞ ∠G(jω)=900
轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是 900
结论：低频（ω→0）时，输出振幅为 0，高频（ω→∞）时输出振幅很大；
输出相位总是超前输入 900。
本章难点
1．一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。 2．频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。
§1 概述
一、频域法的特点： 系统分析法：时域法、频域法 ① 仅数学语言表达不同：将 t 转换为ω，不影响对系统本身物理过程的分析； ② 时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析； 工程上更喜欢频域法 ③ 优点：a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而 导出其传递函数； b)验证原传递函数的正确性： 计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证； c)物理意义较直观。 ④ 缺点：仅适用于线性定常系统 工程上大量使用频域法。
4、 惯性环节：
∠G(jω)=-arctgTω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=k
∠G(jω)=00
ω=1/T ∣G(jω)∣=0.707k ∠G(jω)=-450
ω=∞ ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=-900
轨迹：四象限内的一半圆。（图 4.2.1）
结论：①低频端（ω→0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输入相位，即
频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist），对数坐标图（Bode） 一、极坐标图的绘制：
Nyquist 图：当ω由 0→∞时，G(jω)（矢量）的端点在[G(jω)]复平面上所形成的轨迹。 矢量：即为频率特性 G(jω)
对ω=ω1 在实轴上投影：G(jω)实部，u(ω)=u(ω1) 在虚轴上投影：G(jω)虚部，v(ω)=v(ω1) G(jω1)= u(ω1)+ jv(ω1)
二、基本概念： 1、频率响应： 定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。 输入：xi(t)=Xisinωt 输出：包括两部分： ① 瞬态响应：非正弦函数，且 t→∞时，瞬态响应为零。 ② 稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生 变化。
fig4.1.1 讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例；
系统数学模型获取方法： p.89 四、频率特性的特点：
1、G(jω)是 w(t)的 F 变换。 因为 X0(s)=G(s)Xi(s) xi(t)=δ(t) Xi(s)=1 →x0(t)=w(t) 所以，X0(jω)= G(jω) 即 F[w(t)]= G(jω) 结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。 2、G(jω)在频域内反映系统的动态特性。
若 xi(t)=Xisinωt
2、用 jω替代 s：
（例）
求出 G(s)后，用 jω替代 s 即可。（证明，例） 3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。
方法：①改变输入信号频率ω，测出相应输出的幅值和相位 ②画出 XO(ω)/ Xi 与ω曲线 →获幅频特性 画出Ф(ω)与ω曲线 →相频特性
ω=∞ ∣G(jω)∣=0 ∠G(jω)=-900
轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-900
结论：低频（ω→0）时，输出振幅很大，高频（ω→∞）时输出振幅为 0；
输出相位总是滞后输入 900。
3、 微分环节
G(s)=s
频率特性：G(jω)=jω →∣G(jω)∣=ω u(ω)=0
Chp.4 频率特性分析
基本要求
1．掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程 之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法； 掌握动刚度与动柔度的概念。
2．掌握频率特性的 Nyquist 图和 Bode 图的组成原理，熟悉典型环节的 Nyquist 图和 Bode 图的特点及其绘制， 掌握一般系统的 Nyquist 图和 Bode 图的特点和绘制。
模
相角 Nyquist 图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。 绘制步骤：①由 G(jω)列出∣G(jω)∣和∠G(jω)表达式；
角∠G(jω)走向：逆正顺负 ②ω在[0，∞]取不同值，代入∣G(jω)∣、∠G(jω)，获得相应值； ③在相应于∠G(jω)射线上，截取∣G(jω)∣值； ④将∣G(jω)∣线段的终点连接起来，即获得 G(jω)的极坐标图。 二、典型环节的 Nyquist 图： 1、 比例环节： G(s)=K 频率特性：G(jω)=K →∣G(jω)∣=K u(ω)=K
讨论：①G(jω)是复数，可写成： G(jω)=u(ω)+jv(ω)=∣G(jω)∣ejφ(ω)=A(ω)∠Ф(ω)
u(ω)：为 G(jω)的实部 →实频特性； v(ω)：为 G(jω)的虚部 →虚频特性。 ③ 幅频特性∣G(jω)∣：输出量的振幅与输入量的振幅之比。
∣G(jω)∣反映输入在不同ω下，幅值衰减或增大的特性。
3．了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。 4．掌握频域中性能指标的定义和求法； 了解频域性能指标与系统性能的关系。 5． 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
重点与难点 本章重点
1．频率特性基本概念、代数表示法及其特点。 2．频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种 图形的绘制。 3． 频域中的性能指标。