复习题： 1设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本，
1．试问
2
2
1
1
()n
i
i X
μσ=-∑服从什么分布（指明自由度） )1,0(~N X i σ
μ
-且独立，
)(~)(
)(1
21
21
2
2
n X X n
i i n i i χσ
μ
μσ∑∑==-=-
2．假定0μ=，求2
122
12()()X X X X +-的分布。

)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -
)1,0(~22
1N X X σ
+,
)1,0(~22
1N X X σ
-)1(~)2(
22
1χσ
X X +,)1(~)2(
22
1χσ
X X -
又22
1)2(
σ
X X +和22
1)2(
σ
X X -相互独立，故
2
122
12()()X X X X +-＝)1,1(~1
/)2(1
/)2(
22122
1F X X X X σ
σ++ {
2设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺
序统计量),,,max (21)(n n X X X X =，求随机变量)(n X 的概率密度；
解：⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1
,110,0
,0)(x x x x x F
而),,,max (21)(n n X X X X =的分布函数为
}
)),,,{max(}{)(21)()(z X X X P z X P z F n n X n ≤=≤=
}),,,{21z X z X z X P n ≤≤≤= n z F )]([=
()()z F z f n n X
X )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<<z
3设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧<<=其它
01)(θ
θ
x x f
n X X X ,,,21 为样本，),,,max (21)(n n X X X X =，
》
1）求随机变量)(n X 的概率密度；
2）问{}n
X X X ,,,max ˆ21 =θ是否为θ的无偏估计量 答 ⎪⎩⎪
⎨⎧<<=其它
01
)(~θ
θ
x x f X ,其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=θ
θθx x x x x F ,10,0
,0)(
{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤==≤=θθθ
θy y y y y F y X X X P y F n n
n ,
10,)(0,
0)]([),,,(max )(21ˆ
⎪⎩⎪
⎨⎧<<==--其它,
00,)()]([)(1
1
ˆθ
θθy ny y f y F n y f n n n
θθθθ
θ
θ≠+=
==⎰⎰-+∞
∞
-1
)()ˆ(0
1
ˆn n
dy ny y
dy y yf E n
n ， 不是无偏估计
4设总体X 的概率密度为
.
,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f x
θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，
]
1．求θ的矩估计量1θ∧
；
矩估计法:1)
(-==
⎰∞
--θθ
θdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1
+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧
；
最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑==
=-
--=∏
n
i i
i x n x n
i e
e
L 1
)
(1
)(θθθ，
θ
θ≥=≥≤≤i n
i i x n i x 1min ,,1,即
按似然估计的思想，当 似然函数关于θ
是增函数，故
i
x min ˆ2=θ。

θ的最大似然估计量为i
X min ˆ2＝θ。

5设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为
$
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0
01)(_x x e
x f x
θθ 其中0>θ为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下： 1150，1190，1310，1380，1420
求电池的平均寿命θ的最大似然估计值。

解 似然函数∑
=
=n
i i
x n
e
L 1
1
_
1
)(θθ
θ， ∑=-
-=n
i i
x n L 1
1
ln )(ln θ
θθ
令01
)(ln 1
2=+-=∑=n
i i
x
n L dx d θ
θθ
1290)14201380131011901150(5
1ˆ=++++==x θ
6在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得样本均值566.x =分，样本标准差15=s 分。

问在水平050.=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分 —
解 设考生的成绩为X ，则),(N ~X 2
σμ
010070μμμμ≠==:H ,:H
检验统计量n
/s x t 0μ-=
，拒绝域)n (t t 12
->α
算得03012354136
157********.)(t ./.t .=<=-=
可以认为全体考试的成绩为70分 .
—
7设n X X X ,,,21 是总体)(~λπX 的样本, 证明对于任意常数α, 统计量X ,
2S , 2)1(S X αα-+都是参数λ的无偏估计量.
证 由于)(~λπX , 因此由例1和例2可得
λ==)()(X E X E , λ==)()(2X D S E ,
()
)()1()()1(22S E X E S X E αααα-+=-+λλααλ=-+=)1(,
所以2
2
)1(,,S X S X αα-+都是λ的无偏估计量.
8设总体X 的数学期望和方差都存在, 321,,X X X 是X 的样本, 证明统计量
632ˆ3211X X X ++=μ
, 442ˆ3212X X X ++=μ
, 3
33ˆ3213X X
X ++=μ. #
都是总体均值μ=)(X E 的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效.
解 设2
)(σ=X D , 由于
μμμμμ
=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=613121
632
)ˆ(3211X X X E E ,
μμμμμ
=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=414121
442
)ˆ(3212X X X E E , μμμμμ
=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=313131333
)ˆ(3213X X X
E E . 故321ˆ,ˆ,ˆμμμ
都是总体均值μ的无偏估计量. 又由于 222232111873619141632)ˆ(σσσσμ
=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D , 2
22232128316116141442
)ˆ(σσσσμ
=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D , 222232133191919
1333)ˆ(σσσσμ
=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D . 因此)ˆ()ˆ()ˆ(123μμμ
D D D <<, 估计量3ˆμ更有效. 9设总体X 服从正态分布)9,(μN ，n X X X ,,,21 来自X 的样本1216,,,X X X ，则当
n____＝90______时，1.0][2
≤-μX E
10设n X X X 221,,, 是来自正态总体),(2
σμN 的样本，则当c ＝
n
21
时，∑=+-n
i i i n X X c 1
2)(为2σ的无偏估计。