模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( )A ．{x |x >2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－23或x >2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23<x <2 解析：选C 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 2．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：选B 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.3．若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >a ＋b ，(x －a )(y －b )>0是⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，y >b 成立的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ， ①(x －a )(y －b )>0. ② 由②知，x －a 与y －b 同号，又由式①，得(x －a )＋(y －b )>0，∴x －a >0，y －b >0，即x >a 且y >b .故充分性成立． 若⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，y >b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －a >0，y －b >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，(x －a )(y －b )>0，故必要性亦成立． 4．关于x 的不等式|5x －6|<6－x 的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫65，2B.⎝⎛⎭⎫0，65 C ．(0,2) D.⎝⎛⎭⎫65，＋∞ 解析：选C 原不等式⇔x －6<5x －6<6－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －6>x －6，5x －6<6－x⇔⎩⎨⎧ x >0，x <2⇔0<x <2，故原不等式的解集为(0,2)． 5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D 因为2x >0,2y >0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，故2x ＋y ≤12，即2x ＋y ≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2. 6．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab >0，－c a <－d b，则下列各式恒成立的是( ) A ．bc <adB ．bc >ad C.a c >b d D.a c <b d解析：选B 对－c a <－d b 两边同乘－ab ，由－ab <0，得bc >ad .7．若a ＞0，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 在R 上的解集不是空集的a 的取值是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＝1C ．a ＞1D ．以上答案均不对解析：选C 函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1，所以|x －4|＋|x －3|＜a 的解集不是空集，需a ＞1.8．函数y ＝2x －3＋8－4x 的最大值为( ) A. 3 B.53C. 5D. 2 解析：选A 由已知得函数定义域为⎣⎡⎦⎤32，2，y＝2x－3＋2×4－2x≤[12＋(2)2][(2x－3)2＋(4－2x)2]＝3，当且仅当2x－31＝4－2x2，即x＝53时，等号成立．∴y max＝ 3.9．一长方体的长、宽、高分别为a，b，c且a＋b＋c＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为()A．27 B．54C．52 D．56解析：选B∵9＝a＋b＋c≥33abc，∴abc≤27，当且仅当a＝b＝c＝3时取得最大值27，此时其表面积为6×32＝54.10．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是()A．g(x)M B．g(x)∈MC．g(x)∉M D．不能确定解析：选B g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x22－2x2＝(x1－x2)·(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．已知|x|<1，|y|<1，则xy＋1与x＋y的大小关系是________．解析：(xy＋1)－(x＋y)＝x(y－1)＋(1－y)＝(y－1)(x－1)，∵|x|<1，|y|<1，∴－1<x<1，－1<y<1，∴y－1<0，x－1<0，∴(xy＋1)－(x＋y)>0，即xy ＋1>x ＋y .答案：xy ＋1>x ＋y12．若x <0，则函数f (x )＝x 2＋1x 2－x －1x 的最小值是________． 解析：令t ＝x ＋1x，因为x <0. 所以－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2， 所以t ≤－2，则g (t )＝t 2－t －2＝⎝⎛⎭⎫t －122－94. 所以f (x )min ＝g (－2)＝4.答案：413．有一长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，满足1x 2＋1y 2＋1z 2＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．解析：∵(x 2＋y 2＋z 2)⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥(1＋1＋1)2＝9，即x 2＋y 2＋z 2≥1.当且仅当x ＝y ＝z ＝33时，等号成立， ∴长方体的对角线长l ＝x 2＋y 2＋z 2的最小值为1. 答案：114．(辽宁高考)对于c >0 ，当非零实数a ，b 满足 4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使 |2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________． 解析：要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ，即(2a ＋b )2≤c＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥(2a ＋b )24，当且仅当2a ＝b 时，等号成立，此时c ＝b 2，所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b2＝4⎝⎛⎭⎫1b ＋122－1≥－1，故1a ＋2b ＋4c 的最小值为－1. 答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)解不等式：|2x－1|＋|2－x|<x＋3.解：①当x<－3时，显然无解．②当－3≤x≤12时，原不等式为1－2x＋2－x<x＋3，即0<x≤12.③当12<x≤2时，原不等式为2x－1＋2－x<x＋3，即1<3，显然成立，∴12<x≤2.④当x>2时，原不等式为2x－1＋x－2<x＋3，即2<x<3.综合①②③④可得原不等式的解集为{x|0<x<3}．16．(本小题满分12分)已知a，b，c>0.求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a，b，c>0，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．17．(本小题满分12分)把10分成5个正数之和，问怎样分法，才能使这5个数的乘积具有最大值？证明你的结论．解：设这5个正数为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝10，于是a 1a 2a 3a 4a 5≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 555＝⎝⎛⎭⎫1055＝32，等号成立⇔a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝2.∴应当使得每一个数都为2，此时最大值为32.18．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝12－12b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式．(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由． 解：(1)由题意可得a 2＝3，a 5＝9，∴d ＝13(a 5－a 2)＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1. 又由T n ＝12－12b n ，得T n ＋1＝12－12b n ＋1， 相减，得b n ＋1＝－12b n ＋1＋12b n ，b n ＋1＝13b n ， 由T 1＝b 1＝12－12b 1，得b 1＝13. ∴{b n }是以13为首项，13为公比的等比数列， 则b n ＝⎝⎛⎭⎫13n .(2)可求得S n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n＝3n . 当n ＝1时，S 2＝4>1b 1＝3； 当n ＝2时，S 3＝9＝1b 2； 当n ＝3时，S 4＝16<1b 3＝27. 猜想当n ≥3时，S n ＋1<1b n， 即(n ＋1)2<3n .理由如下：①当n ＝3时，42<27，不等式成立．②假设n＝k(k≥3)时不等式成立，即(k＋1)2<3k.则n＝k＋1时，3k＋1＝3·3k>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3 ＝k2＋4k＋4＋2k2＋2k－1＝(k＋2)2＋2k2＋2k－1>(k＋2)2，即n＝k＋1时不等式成立．由①②知，n≥3时，3n>(n＋1)2.。