人教版高二下学期数学期末试卷一、单选题1．已知，则 （ ）． A.B.C.D.2．已知1tan 2α=， ()1tan 212αβ-=，则()tan αβ-=（ ） A. 25- B. 25 C. 1423- D. 14233．已知函数f (x )x ＋2cos 2x ，则函数f (x )最大值为( )A. 2B.C. 3D. 2 4．已知 为锐角，，则 （ ）A.B.C. D.5．在平面直角坐标系中，已知向量，若 ，则x ＝( ) A. －2 B. －4 C. －3 D. －1 6．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,)2A πωϕ>><在一个周期内的图象如图所示，则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. 2-B. 2C. D. 7．对两个变量 和 进行回归分析，得到一组样本数据 ，则下列说法中不正确的是（ ）A. 由样本数据得到的回归方程 必过样本点的中心B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好D. 若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间具有线性相关关系 8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.1 B. π C. 1 D. π9．已知，则（ ）A.B.C.D.10．运行如图所示的程序框图，则输出的 等于A. B. C. 3 D. 111．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A. 3k ≤B. 4k ≤C. 5k ≤D. 6k ≤12．若把函数y ＝f (x )的图像沿x 轴向左平移个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )A. y ＝sin(2x －)＋1 B. y ＝sin(2x －)＋1 C. y ＝sin(x ＋)－1 D. y ＝sin(x ＋)－113．sin18sin78cos162cos78︒︒-︒︒等于（ ）A. B. 12-C. D. 1214．已知 为单位向量，其夹角为60°，则 ( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 215．已知31=αtan ，则=+αα221sin cos （ ） A ． B ． C ．3- D ．316．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ） A. 12x π= B. 6x π=C. 3x π=D. 23x π=13-1317．从标有1、2、3、4、5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（ ） A. B. C. D.18．已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.B.C. －2D. 2 19．sin15°cos15°=（ ）A.14 B. C. 12 D. 20．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A.35 B. 45 C. 45- D. 35- 二、填空题21．设向量 ， ，若 ⊥ ，则实数 的值为______． 22．已知tan 2α=-， ()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 23．已知平面向量α，β(α≠0)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围________．24．若，则 __________．25．已知向量 ， ，若向量 ，则 __________． 26．已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-的值为_____．三、解答题27．已知函数f(x)＝2sin xsin. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的值域．28．已知函数（），的图象与直线相交，且两相邻交点之间的距离为.（I）求函数的解析式；（II）已知，求函数的值域；（III）求函数的单调区间并判断其单调性.29．已知向量，.（I）求向量与向量夹角的余弦值（II）若，求实数的值.30．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；（Ⅱ）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考公式，其中.31．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组： [)0,5， [)5,10， [)10,15， [)15,20， [)20,25， []25,30，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．32．为了改善贫困地区适龄儿童的教育环境，某市教育行政部门加大了对该地区的教育投资力度，最近4年的投资金额统计如下：（第 年的年份代号为 ）（Ⅰ）请根据最小二乘法求投资金额 关于年代代号 的回归直线方程； （Ⅱ）试估计第8年对该地区的教育投资金额. 附：33．（本小题满分10分）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和最小值； （Ⅱ）设ABC∆的内角对边分别为与垂直，求的值.34．已知向量 ， ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若 ，求 的值．35．已知向量222m =-（，， sin cos n x x =（，）， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若向量m n ，的夹角为3π，求sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 2()2cos 1f x x x =++()f x ,,A B C,,,()3,(sin ,1)a b c c f C m A ===-且若(2,sin )n B =,a b参考答案1．A【解析】.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. （2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2．A 【解析】已知()()11tan ,tan 2,tan 212ααβαβ=-=∴- ()()()tan 2tan tan 21tan 2?tan αβααβααβα--⎡⎤=--=⎣⎦+- 1121221151?122-==-+，故选A. 3．C【解析】∵()2222cos212sin 216f x x cos x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭＋ 又∵sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值域为[]1,1- ∴当sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值1时， ()f x 取最大值为2113⨯+= 故选C点睛：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用配角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式，再利用三角函数的图象及性质进行求解.4．A【解析】分析：首先根据题中所给的和角的范围，以及同角三角函数关系式中的平方关系，求得，之后应用差角公式求得，再利用平方关系求得结果.详解：根据为锐角，且，所以，所以，所以，故选A.点睛：该题考查的是三角函数求值问题，涉及的知识点有同角三角函数关系式、正弦的差角公式、余弦的倍角公式，在求解的过程中，需要认真运算，注意角的取值范围，在开放时，对应的正负号做好相应的取舍.5．D【解析】分析：利用向量的坐标运算，结合求得的坐标，进一步得到的坐标，再由向量共线的坐标表示列方程求的值.详解：由，得，则，，，又，得，故选D.点睛：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的性质，要特别注意垂直与平行的区别，若，则，.6．C【解析】由图象可知，5ππππ2,2882TAω==-==，所以2ω=ω＝2，由π28f⎛⎫=⎪⎝⎭，得ππ22π,82k k Zϕ⨯+=+∈，解得π2π,4k k Zϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以πππ2sin2444f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C.7．C【解析】分析：根据回归方程性质、残差平方和含义、相关指数含义以及相关系数的含义进行判断.详解：因为回归方程 必过样本点的中心 ，所以A 对， 因为残差平方和越小拟合的效果越好，所以B 对， 因为相关指数 越大拟合效果越好，所以C 错，因为相关系数绝对值越接近1越具有线性相关，所以D 对， 因此选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 . 8．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .9．D【解析】由题意可得：，解得： ， 则：.本题选择D 选项. 10．B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的 的值.详解：当 时，满足进行循环的条件，故 ； 当 时，满足进行循环的条件，故 ； 当 时，满足进行循环的条件，故 ； 当 时，不满足进行循环的条件，退出循环， 输出 ，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 11．B【解析】试题分析：第一次循环， 211,2S k ===；第二次循环， 22126,3S k =⨯+==；第三次循环， 226321,4S k =⨯+==；第四次循环， 2221458,5S k =⨯+==,最后输出的数据为58,所以判断框中应填入4k ≤,选B. 考点：程序框图. 12．B【解析】分析：由题意函数的图象变换，按照逐步逆推，即可得到函数的解析式，确定选项. 详解：函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标保持不变)，得到 ，沿y 轴向上平移1个单位，得到 ，图象沿x 轴向右平移个单位，得到函数. 故选：B.点睛：关于三角函数的图象变换的方法 (1)平移变换①沿x 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x ＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．②沿y 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x )＋k 时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝f (ωx )时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．②沿y 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝Af (x )时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍． 13．D【解析】 由1sin18sin78cos162cos78sin18cos12cos12sin12sin302︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒=，故选D . 14．B【解析】分析：由 为单位向量，其夹角为 ，利用平面向量的数量积公式，求得 与 的值，从而可得 的值. 详解：因为 为单位向量，其夹角为 ， 所以 ，，故选B. 点睛：本题主要考查平面向量的数量积的公式，意在考查对基本公式、基本运算掌握的熟练程度，属于基础题. 15．D 【解析】试题分析：21cos 22cos 13sin 22sin cos tan αααααα+===．故选D ． 考点：二倍角公式，同角关系． 16．C【解析】由题设有()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,23k x k Z ππ=+∈，故选C. 17．B【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A ，记“第二次抽到偶数”为事件B ，则，，所以 .故选B.18．A【解析】分析：可化为，然后分子分母同时除以 ，即可得到关于 的关系式，进而得到结论. 详解：，故选A.点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.. 19．A【解析】111sin15cos152sin15cos15sin30224︒︒=⋅︒︒=︒= ，选A 20．B【解析】4cos cos sin 36265ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B. 21．-【解析】∵ ，， ∴ ， ， ， 又 ⊥∴ ∴故答案为： 22．3【解析】试题分析： ()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-考点：两角和差的正切公式视频23．，【解析】分析：设，则，由已知与的夹角为120°，可得，运用正弦定理结合正弦函数的值域，从而可求的取值范围.详解：设，，如图所示：则由又与的夹角为120°，，又由，由正弦定理得，.故答案为：.点睛：本题主要考查了向量的加法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质.24．【解析】故答案为.25．【解析】分析：根据向量垂直的结论可得出m的值，再结合模长公式即可.详解：由可得：3-3m=0得m=1，故，故答案为点睛：考查向量的垂直的坐标运算结论，正确求出m的值是解题关键，属于基础题.26．31【解析】试题分析：1 sin()sin()cos().63233ππππααα-=+-=-+=考点：诱导公式27．（1）；（2）【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）结合自变量的范围和（1）中函数的解析式,利用三角函数的有界性求解函数的值域即可.详解：(1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，f(x)∈.故f(x)的值域为.点睛：以三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.28．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)答案见解析.【解析】分析：(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用，可得，从而可得结果；(2)由可得，从而可得的值域是；（3）利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的单调区间.详解：（1）ω与直线的图象的两相邻交点之间的距离为，则，所以（2）的值域是（3）令，则，所以函数的单调减区间为-令则，所以函数的单调增区间为点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象及最值，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.29．(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析：(1)求得，利用平面向量夹角余弦公式可得结果；（2）由向量垂直可得，即，从而可得结果.详解：（1） ，设 与 的夹角为 ， 所以， （2）， ∴，解得 点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.30．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.【解析】【试题分析】（1）根据题目所给数据可填写好表格.（2）通过公式计算 ，所以在犯错误的概率不超过 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 【试题解析】 (1)(2)所以在犯错误的概率不超过 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 31．（1）0.05；（2）50；（3）35【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求得a 的值；（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；（3）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值即可． 试题解析：（1）由频率分布直方图，知()0.010.010.030.080.0251a +++++⨯=，得0.05a =.（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；（3）记“在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A ，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.0150.05⨯=，人数为0.05402⨯=人，分别记为1a ， 2a .在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.0250.10⨯=，人数为0.10404⨯=人，分别记为1b ， 2b ，3b ， 4b ，则在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，所有可能的结果为()12,a a ， ()11,a b ， ()12,a b ， ()13,a b ， ()14,a b ， ()21,a b ，()22,a b ， ()23,a b ， ()24,a b ， ()12,b b ， ()13,b b ， ()14,b b ， ()23,b b ， ()24,b b ， ()34,b b 共15种，而事件A 包含的结果有()12,a a ， ()11,a b ， ()12,a b ， ()13,a b ， ()14,a b ， ()21,a b ，()22,a b ， ()23,a b ， ()24,a b 共9种，所以()93155P A ==.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 32．(1) .(2) 第8年对该地区的教育投资约为40万元.【解析】分析：（Ⅰ）由表中数据，计算 ， ，求出 ， ，写出y 关于x 的回归方程； （Ⅱ）利用回归方程计算 时 的值即可. 详解：（Ⅰ）即所求回归直线的方程为 ；（Ⅱ）当 时， ，故第8年对该地区的教育投资约为40万元. 点睛：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题.33．（Ⅰ）函数的周期为1，最小值为0；（Ⅱ）【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质和图像的运用以及向量的数量积公式的运用。