选择完全消除了滤波器在频率 0 和 处的响应。
零点在原点的数字谐振器的系统函数：
H ( z)
b0 (1 re j0 z 1 )(1 re j0 z 1 )
b0 H ( z) 1 (2r cos 0 ) z 1 r 2 z 2
因为 H ( ) 的峰值出现在 0 处或其附近，所以选择增益 b 0 使 H (0 ) 1 。
具有全通滤波器的系统函数最普通的形式，以极点和零点 因子的方式表示为：
z 1 ak N c ( z 1 k )( z 1 k ) H ap ( z ) 1 1 1 1 a z ( 1 z )( 1 k 1 k 1 k k kz )
因此，复共轭极点位于单位圆上的二阶系统的冲击响应是一条正
弦曲线，这样的系统成为数字正弦系统，或数字正弦信号发生器。
( A sin 0 ) (n)

a1 a2
z 1 z
1
y (n) A sin(n 1)0
a1 2 cos 0 a2 1
Hale Waihona Puke 该系统对应的差分方程为y (n) a1 y (n 1) y (n 2) b0 (n)
a N a N 1 z 1 a1 z N 1 z N H ( z) 1 a1 z 1 a N z N

a z
k 0 N k k 0 k
N
N k
a z
,
k
a0 1
其中，所有滤波系统{ak } 均为实数。如果将多项式A(z)定义为
y (2) 2 cos 0 y (1) y (0)
2 A cos 0 sin 20 A sin 0
A(4 cos 2 0 1) sin 0
3 A sin 0 4 sin 3 0 A sin 30
并以此类推，我们注意到，在n=0处应用冲击信号来达到正弦振 荡启动的目的。此后振荡是自维持的，这是因为系统没有阻尼 （即r=1）。
NR
其中有 N R 个实数的极点和零点，以及 N C 个零点和极点的复共轭对。
0.6 z 1 H ( z) 1 0.6 z 1
r 2 2r cos 0 z 1 z 2 H ( z) 1 2r cos 0 z 1 r 2 z 2
r 0.9
0 / 4
k 0 2k / L, k 0,1,2,, L 1。
H ( )
1
2

H L ( )
0

2
2

8 5

6 5

4 5

2 5
0
2 5
4 5
6 5
8 5
2
x ( n)
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
h(0)
在设计数字谐振器时，要使共振峰出现在 0 处或其附近， 选择复共轭的极点位于
p1, 2 re j0 ,
0 r 1
另外，我们可以选择最多两个零点。虽然有许多种可能的选择，
但有两种情况是至关重要的。一种选择是把零点定位在原点；另一种 选择是把一个零点定位在z=1处，把另一个零点定位在z=-1处。这种
p1, 2 re j0
处放置了一对复共轭的极点，极点的影响是在槽口零点处引入了共 振，因而会缩小槽口的带宽，改善后的滤波器的系统函数为：
1 2 cos 0 z 1 z 2 H ( z ) b0 1 2r cos 0 z 1 r 2 z 2
3db带宽为：
2 2(1 r )
槽口滤波器的频率响应特性 槽口位于 /4处， H ( z ) G[1 2 cos 0 z z ]
1 2
双槽口滤波器的频率响应特性 槽口位于 /4处，
1 2 cos 0 z 1 z 2 H ( z ) b0 1 2r cos 0 z 1 r 2 z 2
该滤波器有零点位于单位圆上，
z k e j 2k / L ( M 1)
其中，k是不等于0,L,2L,…,ML的所有整数。
L=3,M=10的梳状滤波器的幅频特性
数字正弦振荡器：
数字正弦振荡器可以视为两极点谐振器的限制形式，它的复共 轭极点位于单位圆上。从前面的讨论，二阶系统的系统函数
H ( z) b0 1 a1 z 1 a2 z 2
其中，参数 a1 2 cos 0 , b0 A sin 0 , 并且初始状态为
y (1) y (2) 0
通过差分方程的反复迭代，得到
y (0) A sin 0 y (1) 2 cos 0 y (0) 2 A sin 0 cos 0 A sin 20
H ( z ) b0 (1 e j0 z 1 )(1 e j0 z 1 ) b0 (1 2 cos 0 z 1 z 2 )
FIR槽口滤波器的问题是槽口具有相对大的带宽，这意味着期望 为零的频率点周围的其他频率分量也受到严重的衰减。为了缩小槽 口零点的带宽，我们可以采用更复杂更长的FIR滤波器。另一种可行 的方法是，我们可以用一种特殊的方式，试图在系统函数中引入极 点以改善频率响应特性。 假设在
M 1 ) 2 sin( / 2)
以更普遍的形式，通过采用系统函数为
H ( z ) h( k ) z k
k 0 M
的FIR滤波器，并用 z L 来代替z，就可以构造梳状滤波器，其中L为 正整数，因而得到新的FIR滤波器的系统函数为
H L ( z ) h(k ) z kL
谢谢观赏
从上式可以看出，该滤波器的零点位于单位圆上，
z e j 2k /(M 1) ,
k 0,1,2,3,, M
我们注意到，在z=1处的极点实际上被z=1处的零点抵消了， 这使得该滤波器实际上除z=0以外不再含有极点。 它的频率响应为
H ( )
e M 1
j M / 2
sin (
常用滤波器
常用数字滤波器
数字谐振器
槽口滤波器 梳状滤波器
数字正弦振荡器
全通滤波器
数字谐振器：
数字谐振器是一种特殊的两极点带通滤波器，这两个极点以复共 轭对的形式位于单位圆附近。
Im( z )
r
0
0
Re( z )
r
谐振器这个名字归因于这个滤波器在极点位置附近具有较大的幅
度响应。极点的角度位置决定了滤波器的共振频率。 数字谐振器在许多应用中是非常有用的，包括简单的带通滤波 器以及语音的生成。
例 试设计一个陷波器将50Hz干扰滤除，采样间隔为0.002秒。 1、50Hz对应的数字频率为 50×2PI×0.002=0.628 2、r可选0.96
( z e j 0.628 )(z e j 0.628 ) H ( z) ( z 0.96e j 0.628 )(z 0.96e j 0.628 )
全通滤波器：
全通滤波器定义为对所有频率具有常数幅度响应的系统
H ( ) 1,
0
全通滤波器最简单的例子就是纯延时体统，它的系统函数为
H ( z) z k
这样的系统会通过所有信号而不产生改变，只是延迟了k个样 本。具有线性相位响应特性的系统成为平凡全通系统。
一个更加有趣的全通滤波器的系统函数为
h(1)
h(2)
h(3)

L


y ( n)
假设用 z 代替 z 于是得到的梳状滤波器的系统函数为
1 1 z L ( M 1) H ( z) M 1 (1 z L )
它的频率响应为
1 sin[L( M 1) / 2] jLM / 2 H L ( ) e M 1 sin(L / 2)
3db带宽：
2(1 r )
例 模拟信号x(t)=sin7t+sin200t，试设计一个滤波器，滤除低频分量sin7t 设采样间隔为0.002s，带宽为0.02。
1、两个分量的数字频率分别为 0.014和0.4 2、根据带宽公式，r=0.99
H ( z)
b0 ( z 1)(z 1) ( z 0.99e j 0.4 )(z 0.99e j 0.4 )
当数字谐振器在 0 / 3, r 0.8 时的幅度和相频响应。
当数字谐振器在 0 / 3, r 0.95
时的幅度和相频响应。
零点在1,-1的数字谐振器的系统函数：
b0 (1 z 1 )( 1 z 1 ) H ( z) 1 ( 2r cos0 ) z 1 r 2 z 2
b0 b0 H (0 ) j 0 j 0 j 0 j 0 (1 re e )(1 re e ) (1 r )(1 re j 20 )
因此， H (0 )
b0 (1 r ) 1 r 2r cos 20
2
1
所以，期望的归一化因子为 b0 (1 r ) 1 r 2 2r cos 20
槽口滤波器：
槽口滤波器包含一个或多个深槽口的滤波器，理想情形下，在 这些点的频率响应为零。槽口滤波器在许多必须滤除指定的频率分
量的应用中是很有用的。例如，在仪表应用和录音系统中，要求滤
除电力线的60Hz频率以及其谐波。 为了使滤波器频率响应特性在频率 0 处产生零值，我们只需 要在单位圆的角 0 处引入一对复共轭零点。即 从而，FIR槽口滤波器的系统函数仅仅是
r 0.85
r 0.85
r 0.95
梳状滤波器：
梳状滤波器最简单的形式可以视为槽口滤波器，在它的频带 范围内，槽口零值会周期性的出现。因此，类推到普通的梳状滤 波器，也会有周期性间隔的牙齿。梳状滤波器在实际的系统中有 着广泛的应用，比如抑制电力线谐波，从电离层测得的电子浓度 中分离出太阳和月亮的分量，降低固定物体在运行目标只是雷达