s
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二： 微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体 面 线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多 标量积分，

D0
dS
i
q
E dl 0
l
3.2.1 (高斯定理) 3.2.2 (静电守恒定理)
在半径为R的球面上取面元dS,与球 心构成的锥体。
定义立体角
d
ds R2
球面度
整个球面： 4 R2 4
R2
dS 在er
上的投
任意面对中心 点的立体角：
d
dS •
er
影 r
R2
与是否球 面无关
特性：d 与R无关
及D0 e0E 能解出E
{亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定
F(r)=Fl (r)+FS(r) 无旋量+无散量}
当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D
或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则
E自动满足
v E
0
，此时只要计算
D
即可
得场解。
例 3.2.1 电荷按 r r0
a 的球体，求球内外的D
静电守恒定理证明
vv E dl
q
evr
v dl
l
4 e0 l R2
Ñ
闭合
q
4 ev0 E
RB dR R RA 2
v dl
0
q
4 e0
1 RA
1 RB
由斯托克斯定理
vv
v v 任意回路
微分形式
Ñ E dl
l
S
E
dS
任意限定面
0
E 0 无旋场、保守场
理论上由
D0
r
E 0
静电场分析
第三章 静场分析
矢量分析
内容：以第一章
为基础
亥姆霍兹定律
静电场的解
1.电场基本方程 2.电位 3.泊松、拉普拉斯方程 4.格林函数 5.介质极化（微观宏观） 6.边界条件 7.电容 8.电场能量
§3.1 静电场分析的基本变量:
1.矢量场 场变量 E
体
2.标量源 恒定电荷 面
线
变量 r 有散场
三个基本量：1.源r rv
e13
e
23
e33
2.场
v D
v
E v D
Dx
Dy
Dz
rv
rv
v E
Ex Ey
Ez
§3.2 真空中静电场的基本
方程
▪ 场的求解一般有两种方法:
微分方程 但都要分析
积分方程
矢量在闭合面上的通量 矢量在闭合回路上的环流
真空中的基本方程
+++++++++ ||||||||
对带电物体产生力
导体电子运动 J
介质极化
D
电位移C/m2
法拉第定律:
v D
q
4 r2
evr
均匀介质点电荷周围
1840’s
麦克斯韦本构关系
v D
rv
e
v E
F m
e为材料特性参数
均匀—e常数 e e0 e r
e11 e12 非均匀—张量 e21 e22
e31 e32
dS
dl1
dl2
1R 2 R
d
dS R2
1 2
dl1 dl2
对闭合面
d
4（ 在闭合面内）
0（ 在闭合面外）
证明高斯通量定律
首先设仅有单个点电荷 q
蜒 s Ñ
v D0
q
4
ds SvevrRgd2sSv4qevrRq0（ （2 gqqd在 在Sv 闭 闭合 合面 面内 外） ）
N
(E矢量积分有3个分量), 而微分总是可 计算的，也简单(引入 f的原因)。
R
y : (,)
因为电荷密度均匀,故电通密度D0垂直与这个无限大平 面,且仅与距离有关取柱面垂直于S 作底面积为S
的小柱体，则由高斯定理有：
侧面D S, D dS侧 0
D
dS
D0S
ez
ez
D0S
(ez )
(ez )
s
2D0S S
v D0
2
evz
2
(evz
)
z0 z0
z 0处,
D0
z 0
D0
z 0
2
( )
2
对于均匀介质: Er Dr
e
e er e0
介质中电场
e
Er
r为相对介电系数(一至几千)
减少
§3.3
静电场
电 Ev位 0函, 数Ev 可用一标量梯度表示，
即电位函数f
Q
0,
等效得
v E
直角坐标
Ev＝－evx
x
evy
y
evz
z
电场等于电位梯度的负值
电场沿任意方向l的变化： E在l v上的投v 影
El
l
d El dl E dl
电位差
Bv v
A B
E dl
A
A(x, y, z)相对参考点 P(xp , yp , zp ), p 0 的
电位为 （x, y, z）
(
x
p
,
y
p
,
z
p
)
E
dl
3.3.5
(x,y,z)
将电场（点、体、面、线）表达式代入上式， 即可得电位的相应表示式
再用叠加原理 D0 • dS D0i • dS
S
S i1
N N
D0i • dS qi
i1 S
i 1
可推广到体、面、线电荷情况（对源点积
分即可）
•
D0dV
D0 • dS q
r (rr)dV
s
对任意面（体积）均成立 ，我们可得到高斯
定理的微分形式： v
D0 r
体分布
c
D内
r0
r2
r3 3
r5 5a 2
c r2
r
0
r3 3
r5 5a2
c r2
r
0时，D有限,
c r2
0
*解题时，依照题作图、矢径、源、计算。
例 3.2.2 计算均匀面电荷密度为s 无限大平
面的电场。
解:显然如果用库仑定律的电场强度公式
计算较繁复；
E
1
4e 0 S
x : (,),
r 1 dS
1。 ar22
分布在半径为
显见：电场为球对称， D沿径向且仅为r的函数
总电量：Q rr d
a 0
r0
1
r2 a2
4r
2dr
8 15
r
0a3
球外场(r≥a):以球心中心到场点作球面(高斯面)
s
D外
dS
4r 2D外
Q
8 15
r
0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r<av): v
Ñ D内 dS 4 r2D内