第七章 真空中的静电场7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为)41()22(420+=a q F πε＝,2520aqπε方向由q 指向-4q 。

7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。

（1）求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。

解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则2020)(4)(4ξπεξλξπεξλ-=-=x d x d dE则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为)11(4)(40020xL x x d E L--=-=⎰πελξξπελ＝)(40L x x L-πελ方向沿ξ轴正向。

（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y204rdxdE πελ=θπελcos 420r dxdE y =，θπελsin 420rdxdE x = 因θθθθcos ,cos ,2yr d y dx ytg x ===，习题7－1图dq ξd ξ习题7－2 图axxdx习题7－2 图by代入上式，则)cos 1(400θπελ--=y ＝)11(4220Ly y +--πελ，方向沿x 轴负向。

θθπελθd y dE E y y ⎰⎰==00cos 400sin 4θπελy =＝2204Ly y L+πελ 7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。

对称分析E y =0。

θπεθλsin 420R Rd dE x =⎰⎰==πθπελ00sin 4RdE E x R02πελ=2022Rq επ=，如图，方向沿x 轴正向。

7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，xE 012πελ=两线间的相互作用力为θθπελθd y dE E x x ⎰⎰-=-=00sin4x习题7－3图λ1 习题7－4图⎰⎰==x dx dF F 0212πελλ⎰=la x dx 0212πελλ,ln 2021ala +πελλ如图，方向沿x 轴正向。

7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q ，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q ，另一个即为Q －q ，若它们间的距离为r ，它们间的相互作用力为204)(r q Q q F πε-=相互作用力最大的条件为04220=-=rqQ dq dF πε 由上式可得：Q=2q ，q=Q/27－6 一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为θθπσθπσd R rRd dq sin 222==dq 在o 点产生的电场据（7－10）式为304R ydqdE πε=，θcos R y =θθπεθπσπd RR dE E cos 4sin 200303⎰⎰== )(sin sin 200θθεσπd ⎰=20202sin 2πθεσ=4εσ=。

如图，方向沿y 轴负向。

7－7 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：如图，设作一圆平面S 1盖住半球面S 2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，习题7－6图E习题7－7图即021=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰S S SS d E S d E S d E2211R E S d E S d E S S S π-=⋅-=⋅=ψ⎰⎰7－8 求半径为R ，带电量为q 的空心球面的电场强度分布。

解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E 的大小相等，方向沿径向。

在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S 1与S 2。

对S 1与S 2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为04d 21==⋅=⎰r E S πψS E得 0=内E （r<R ）24d 2επψqr E S ==⋅=⎰S Err ˆ204q πε=外E (r>R) 7－9 如图所示，厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。

解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。

对底面积为A ，高度分别为x <d/2和x >d/2的高斯曲面应用高斯定理，有1d ερψAxEA S ==⋅=⎰S E 得 )2( 01dx i x E <= ερ r习题7－18图习题7－9图2d 2ερψd A EA S ==⋅=⎰S E)2( 202d x i d E > ερ＝7－10 一半径为R 的无限长带电圆柱，其体电荷密度为)(0R r r ≤=ρρ，ρ0为常数。

求场强分布。

解： 据高斯定理有⎰⎰==⋅VSdV rl E S d E ρεπ012R r ≤时：⎰'''=rr ld r r krl E 0022πεπ⎰''=rr d r lk22επ=rl E π23230r lk επn e kr E 023ε=→R r >时：⎰'''=Rr ld r r krl E 022πεπ⎰''=Rr d r lk202επ=rl E π23230R lk επn e rkR E 033ε=→7－11 带电为q 、半径为R 1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R 2、R 3。

（1）球壳的电荷及电势分布；（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布； （3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。

解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q ，外表面带q 电荷。

据（7－23）式的结论得：),)(111(4132101R r R R R q V ≤+-=πε );)(111(4213202R r R R R r qV ≤≤+-=πε习题7－10图rq),(432303R r R R q V ≤≤=πε).(4304R r rq V ≥=πε （2）),)(11(412101R r R R q U ≤-=πε );)(11(421202R r R R r qV ≤≤-=πε),(0323R r R V ≤≤=).(034R r V >>= （3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q /，球壳内表面带－q /，外表面带q /－q 。

),)((41132101R r R qq R q R q V ≤-'+'-'=πε得：21313221R R R R R R qR R q +-='=-'=3034R qq V πε)(4)(213132021R R R R R R q R R +--πε)(32R r R ≤≤7－12 一均匀、半径为R 的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r<R)，试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心O 指向球形空腔球心O /。

证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P 产生的电场分别据〔例7－7〕结果为03ερ11r E =, 03ερ22r E -= E =E 1+E 2=03ερ1r 03ερ2r -习题7－12图o o '=3ερ上式是恒矢量，得证。

7－13 一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R 1、R 2，且电荷面密度为σ。

一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P 点沿轴线射向圆心O 。

若质子到达O 点时的速度恰好为零，试求质子位于P 点时的动能E K 。

（已知质子的带电量为e ，忽略重力的影响，OP=L ）解：圆环中心的电势为⎰=210042R R r rdr V πεπσ )(2120R R -=εσ圆环轴线上p 点的电势为⎰+=2122042R R P L r rdrV πεπσ)(22221222022021L R L R L r R R +-+=+=εσεσ 质子到达O 点时的速度恰好为零有k P E E E +=0p k E E E -=→0p k eV eV E -=0=210()2e R R σε=-02e σε-210(2e R R σε=- 7－14 有一半径为R 的带电球面，带电量为Q ，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L （L>R ），细线近端离球心的距离为L 。

设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。

解：在带电细线中任取一长度为dr 的线元，其上所带的电荷元为dq=λdr ，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为rQ V 04πε=电荷元的电势能为: rdrQ dW 04πελ=习题7－13图r习题7－14图细线在带电球面的电场中的电势能为： ===⎰⎰LLr dr Q dW W 204πελ2ln 40πελQ*7－15 半径为R 的均匀带电圆盘，带电量为Q 。

过盘心垂直于盘面的轴线上一点P 到盘心的距离为L 。

试求P 点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。

解：P 到盘心的距离为L ，p 点的电势为⎰+=RP Lr rdrV 022042πεπσ)(222220220L L R L r R -+=+=εσεσ 圆盘轴线上任意点的电势为⎰+=Rxr rdrx V 022042)(πεπσ)(22222200220x x R RQ x r R -+=+=πεεσ利用电场强度与电势的梯度关系得：i x R xR Q i dx dV x E )1(2)(22220+-=-=πεP 到盘心的距离为L ，p 点的电场强度为：i L R LR Q L E)1(2)(22220+-=πε7－16 两个同心球面的半径分别为R 1和R 2,各自带有电荷Q 1和Q 2。