第二章电路的瞬态分析
课堂设计
讲授准备
１．写好教案，准备多媒体教室并试验课件；
３．清点到课人数，登记教学日志；
４．接受报告，如有首长听课，须向首长报告。

课目：RC电路的瞬态分析
目的：1、RC电路的零输入响应。

2、RC电路的零状态响应。

3、RC电路的全响应。

内容：一、RC电路的零输入响应
二、RC电路的零状态响应
三、RC电路的全响应
方法：理论讲解、多媒体演示、课堂练习
时间：2课时
地点：教室
要求：1．遵守课堂纪律，姿态端正，认真听讲；
2．理论联系实际，做到学用结合；
3．认真讨论，积极踊跃发言。

保障：１．教材和笔记本；
２．多媒体课件和教鞭。

３．多媒体教室。

讲授实施
2.4 RC电路的瞬态分析
本节导学：本节主要学习RC 电路的零输入相应、零状态相应和全相应的微分方程。

公式比较多，其实都是全相应的微分方程的解。

一、RC 电路的零输入响应
如图RC 串联电路中，先将开关S 闭合在a 端，使电容两端的电压充至U 0，然后突然将开关S 合到b 端。

这个时候是不是就没有电源，也就是换路后外部激励为零，但在内部储能的作用下，电容经电阻开始放电。

那么，这个时候电路的输出也就是电路的响应为零输入响应。

那么，我们研究RC 电路的零输入响应也就是研究电容的放电规律。

换路以后，根据KVL ，由换路后的电路可列出方程式：
0=+C C u Ri
由于电容的电流和电容的存在这样一个关系：dt
du
C i =，带入上面的方程，就有：0=+C C
u dt
du RC。

那么，这是一个一阶线性齐次常微分方程。

所以我们也称这样的电路为一阶动态电路。

t RC
t RC
c C C C C C C
C C Ae
e
e u c t RC
u dt RC
u du u dt du RC
u Ri 1111
1
ln 1
00-
-==+-=-==+=+
那么，A 是任意常数。

初始条件：t=0，u c =U o ，代入得到 A=U o
所以有：τ
t
RC
t C e U e
U u -
-==00
)()()()(x f x f e x f e '='
ττ
t
t
c C e I e R
U dt du C i ---=-==00
这样我们通过求解一阶齐次常微分方程就得到了电容放电时的电压和电流。

那么，电流里的负号表示电流i c 的实际方向与参考方向相反。

所以运用公式的时候电流方向判断也是非常重要的，如果电流参考方向是流向电容的，那么就可以用这个公式。

这个公式里U o 代表的是电容器换路前稳态时的电容器上的电压值，也就是换路后的初始值。

R 代表的是放电电路，也就是换路后的总电阻，也就是换路后电路的等效电阻。

电容放电时，它的电压是由初始值U o 随时间按指数规律衰减，最终趋于稳态值零。

放电的电流则是在t=0时发生突变，由零跳变到
R
U I 0
0=
，然后再按指数规律衰减而趋于零。

如图所示。

这个RC =τ称为RC 电路的时间常数。

电容放电的快慢，即C u 和C
i 衰减的快慢取决于电路的时间常数。

00
10368.0718
.2U U e U u C ==
=-，这说明，电压u c 衰减到初始值U o 的36.8%所需要的时间等于时间常数τ。

当τ3=t 时，03
3005.0718.2U U e U u C ==
=-
即电压u c 只能剩下初始值U o 的5%了。

电路需要巾帼无穷大时间才能完全达到稳态，但工程上通常在τ3≥t 以后，即可认为电路已趋于稳定，过渡过程基本结束。

可以知道，时间常数τ越大，过渡过程进行的就越慢。

二、RC 电路的零状态响应
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴维宁定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC 电路或RL 电路。

如图所示RC 串联电路中，换路前开关S 断开，电容中无储能，即处于零状态，故u c （0）=0。

换路以后，开关S 闭合，RC 电路两端相当于输入了一个阶跃电压，电容开始充电。

因此该电路的响应为阶跃激励下的零状态响应，简称阶跃零状态响应。

我们研究这样的响应就是研究电容的充电过程。

根据KVL ，换路后的电路得：
t RC
t RC
c S c S C S C C S C C
S C C Ae
e
e U u c t RC
U u RC
dt
U u du U u dt du RC
U u Ri 1111
1
ln -
-=±=-+-
=--
=-=+=+
A 为任一常数。

初始条件：t=0，uc=0代入： A=-Us ，就有
)1(τt
S RC
t S S C e U e
U U u -
--=-=
τt
RC t S c C e I e R
U dt du C i --
===0
这里，Us 代表电容充电完后稳态的电压值，R 一样是代表换路后的等效电阻。

他们的变化曲线如图所示。

可见，u c 是由初始值零随时间按指数规律逐渐增长，最终趋于稳态值U s ；充电电流i c 在t=0时发生突变，由零跳变到I o ，然后按指数规律衰减而趋于零。

电容充电的快慢，取决于电路的时间常数RC =τ，τ越大，充电就越慢。

在理论上，需经过无穷大时间才能完全达到稳态，但工程上只需τ3≥t ，就可认为电路已稳定，充电基本结束。

分析例题。

三、RC 电路的全响应
在图中电路，换路前开关S 闭合在a 端，并且电路已经处于稳态，换路时，将开关S 改合到b 端。

由于换路时电容已经充电，已有储能，换路后，输入阶跃电压，故该电路的响应为阶跃激励下的全响应，简称为阶跃全响应。

求全响应的方法仍然可以用KVL 列方程求解。

但是，现在我们已经知道了该电路的零输入响应和零状态响应，根据叠加原理，是不
是就可以得出全响应的式子：
τ
ττt
S S t
S t
C e U U U e U e U u ----+=-+=)()1(00τ
τ
ττt
S t
S t
S t
C e I I e R
U U e R U e R U i -----=-=+-=)(000
它们的变化规律和U o与U s的相对大小有关。

以u c为例，当U o>U s，电容放电，变化曲线如图，如果U s=0，则是零输入响应。

当U o<U s 时，电容充电，变化曲线所示，如果U o=0，则为零状态响应。

四、分析与思考：
1) 如果换路前电容C 处于零状态，则t = 0 时，u C(0) = 0，而t→∞时，iC(∞) =0，可否认为t= 0 时，电容相当于短路，t→∞时，电容相当于开路？如果换路前C不是处于零状态，上述结论是否成立？
【答】 换路前若电容C处于零状态，则t = 0 时，uC(0) =0 ，又t→∞时，i C(∞) = 0 ，故可认为t = 0 时电容相当于短路，t→∞时电容相当于开路。

而若换路前电容未处于零状态，则u C(0) ≠ 0 ，电容不可视为短路，但t→∞时仍有i C(∞) =0 ，电容仍可相当于开路。