l
m
β
α
α
b
a
立体几何的八大定理
一、线面平行的判定定理:线线平行⇒线面平行
文字语言:如果平面外．的一条直线与平面内．
的一条直线平行,则这条直线与平面平行、 符号语言://a b a b αα⊄⎫
⎪
⊂⎬⎪⎭
⇒//a α
关键点．．．:．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理:线面平行⇒线线平行
文字语言:如果一条直线与一个平面平行,经过．．这条直线的平面与这个平面相交．．
,那么这条直线就与交线．．
平行、 符号语言://l l m α
βαβ⎫
⎪
⊂⎬⎪⋂=⎭
⇒//l m
关键点．．．:．需要．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．,．接着找交线。

．．．．．． 三、面面平行的判定定理:线面平行⇒ 面面平行
文字语言:如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．
,那么这两个平面平行. 符号语言://a b a b A a b αα
αβββ
⊂⎫⎪⊂⎪⎪
=
⇒⎬⎪⎪⎪⎭
I ∥∥ 关键．．点．:．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线与另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言:如果两个平行平面同时．．与第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行、 符号语言:
////a a b b αβαγβγ⎫
⎪
⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭
关键点．．．:．找．第三个平面．．．．．与已知平面都相交．．．．．．．．,．则交线平行．．．．．
文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面、
符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键．．:．只要就是其中一个平面内的直线就．．．．．．．．．．．．．．．行．
n
m
A
α
a
五、线面垂直的判定定理:线线垂直⇒线面垂直
文字语言:如果一条直线与一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．
,那么这条直线垂直于这个平面、 符号语言:,a m a n a m n A m n ααα⊥⎫
⎪⊥⎪
⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭
关键点．．．:．在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理:线面垂直⇒线线垂直
文字语言:若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直平面内的任意．．
一条直线、 符号语言:l l a a αα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
关键点．．．:．往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
两直线位置关系
a b
a b
a b
⎧⎧
⎨
⎪
⎨⎩
⎪
⎩
I=A
共面
//
异面-----与异面
线面位置关系
//
l
l A
l l
l
α
α
αα
α
⊂
⎧
⎪
⎧⎧
⎪
=
⎪
⎨⎨
⊄⊥
⎨⎩
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩
I
斜交
垂直:
面面的位置关系
a
αβ
αβ
αβ
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪⊥
⎩
⎩
I
平行：//
斜交：=
相交
垂直：
二、有关平行的证明
线
∥
线
⑴
//
//
//
a
c
a
c
b
b⎫
⇒
⎬
⎭
线∥线⇒线
∥线
(都就是直
线)
⑵
//
//
a
a a b
b
α
β
αβ
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⊂⇒
=
I
线∥面⇒线∥线
(相交平面)
⑶
//
//
a a b
b
αβ
αγ
βγ
=⇒
=
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
I
I
面∥面⇒线∥线
(平行平面)
⑷
//
a
a b
b
α
α
⎫
⎬⇒
⎭
⊥
⊥
同垂直于一个
平面
⇒线∥线
(线面垂直)
线
∥
面
⑴
//
//
a
b a
a b
α
αα
⎫
⎪
⎭
⇒
⎪
⎬
⊄
⊂
线∥线⇒线
∥面
⑵
//
//
a
a
αβ
β
α
⎫
⇒
⎬
⎭
⊂
面∥面⇒线∥面
面∥面
,
//
//,//
a b
a b O
a b
αα
αβ
ββ
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⊂⊂
=⇒
I
线∥面⇒面∥
面
线
⊥
线
//
a c
b c
a b
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⎭
线⊥线⇒线⊥线
a
a b
b
α
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
线⊥面⇒线⊥线
线
⊥
面
,
,
l a l b
a b P l
a b
α
αα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⊥
⎬
⎪
⊂⊂⎭
I
线⊥线⇒线⊥面
l
a
a
a l
αβ
αβ
β
α
⊥⎫
⎪
=⎪
⇒⊥
⎬
⊂⎪
⎪
⊥⎭
I
面⊥面⇒线⊥面
面
⊥
面
a
a
β
αβ
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
线⊥面⇒面⊥面
四、三种角的范围
异面直线所成角
(]
0,90
θ∈︒︒
直线与平
面所成角
[0,90]
PAO
∠∈︒︒
二面角
[0,180]
AOB
∠∈︒︒
五、三角形的四心六、平面几何中结论
外心:中垂线的交点
外接圆的圆心
中位线定理——中位线平行且等于底边的一半
内心:角平分线的交点
内切圆的圆心
线段对应成比例⇔线线平行重心:中线的交点
(2比1)
两组对边平行或一组对边平行且相等的四边形为平行四
边形
垂心:高的交点一组对边平行且不相等的四边形为梯形。