立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理2及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理 3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：
//
// //
a b
a c c b
⎫
⇒
⎬
⎭
作用：用来证明线线平行。

二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）
符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⎭
线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）
符号语言：////a b a a b βαβα
⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪=⎭
面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）
符号语言：////,/(/),αβαβαβ⊂⊂=⎫
⎪
⇒⎬⎪⎭
m m n n m n O
面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

（5）
符号语言：//αββα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥l l
面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（6）
符号语言：////a a b b αγβγαβ⎫
⎪
=⇒⎬⎪=⎭
面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（7）
符号语言：////a a βααβ⎫
⇒⎬⊂⎭
b
a
α
n
m
β
αl β
α
面面平行的性质2 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

（8）
符号语言：//αββα⎫⊥⇒⎬⎭
⊥l l
面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。

（9）
符号语言：//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭
三、垂直关系
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（10）
符号语言：PA a PO O a PA A a O ααα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥且
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）
符号语言：PA a PO O a AO P a O ααα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥且
线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（12）
符号语言：(,),m n m n l m
l B n l ααα⎫
⎪
⇒⎬⎪⊂⊂=⎭
⊥⊥⊥
线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（13）
符号语言：//b a b a αα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥
线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（符号语言：
//a b b a αα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥
线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（15）
l
βα
m n
l
α
a b
α
符号语言：
a a
b b αα⎫
⇒⎬⊂⎭
⊥⊥
面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（16）
符号语言：A AB B βααβ⎫⇒⎬⊂⎭
⊥⊥
面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（17） 符号语言：
AB CD AB AB CD αββ
ααβ⊥⎫
⎪=⇒⎬⎪⊥⊂⎭
⊥且
最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有
12cos cos cos θθθ=⋅（其中12,,θθθ如图中所示）
平行垂直关系图系
平行垂直证明方法汇总
一、线线平行的证明方法：
1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

（线面平行的性质定理）
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质定理）
5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质定理）
6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

（需证明）
二、线面平行的证明方法：
1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（线面平行的判定定理）
3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：
1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（面面平行的判定定理）
3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：
1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（三垂线定
理，需证明）
8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（三垂线逆定理，需证明）
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：
1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（线面垂直的判定定理）
4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（面面垂直的性质定理）
5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：
1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（面面垂直的判定定理）
3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。