初中数学：与圆相关计算1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．美丽的扇形这是一张美丽的扇形画，你会计算它的面积吗？模块一 与圆有关的计算 与圆有关的面积和长度计算：设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长．面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法☞求弧长例题精讲重难点课前预习【例1】 （2011•珠海）圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（ ）A ．B ．πC ．D ．3π【巩固】（2011•綦江县）如图，PA ．PB 是O e 的切线，切点是A B 、，已知60P ∠=︒，3OA =，那么AOB ∠所对弧的长度为（ ）PBAOA ．6πB ．5πC ．3πD ．2π【巩固】（2011•安徽）如图，⊙半径是1，A B C 、、是圆周上的三点，36BAC ∠=︒，则劣弧»BC 的长是（ ） CBOAA ．B ．C ．D ．【拓展】（2011•烟台）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线1234567FK K K K K K K ……叫做“正六边形的渐开线”，其中¼1FK，¼12K K ，¼23K K ，¼34K K ，¼45K K ，¼56K K ，……的圆心依次按点A B C D E F ，，，，，循环，其弧长分别记为123456l l l l l l ，，，，，，…．当1AB =时，2011l 等于（ ） K 7K 6K 5K 4K 3K 2K 1FE D CB AA ．B ．C ．D ．【例2】 （2010•肇庆）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是cm ．【巩固】（2010•梧州）120︒的圆心角所对的弧长是12πcm ，则此弧所在的圆的半径是 cm ．【例3】 （2009•潍坊）如图，已知Rt ABC △中，90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒，23AB =cm ，将ABC △绕顶点C 顺时针旋转至A B C '''△的位置，且'A B C 、、三点在同一条直线上，则点A 过的最短路线的长度是（ ）cm ．B'A'CBAA ．8B ．43C ．323πD ．83π【巩固】（2010•枣庄）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4BC cm =，3AC cm =．把ABC △绕点A 顺时针旋转90︒后，得到11AB C △，如图所示，则点B 所走过的路径长为（ ）A ．52B ．54πcmC ．52πcmD ．5πcm【例4】 （2011•黔南州）如图，把Rt ABC △的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A B C ''''''△的位置．若13BC AC ==，，则顶点A 运动到点A ''的位置时，点A 两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）【巩固】矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．【拓展】（2011•桂林）如图，将边长为a 的正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）A 423a + B 843a + C 43a + D 423a +☞求面积【例5】 （2011•江津区）如图，点A B C 、、在直径为3的O e 上，45BAC ∠=︒，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果中保留π）．OA【巩固】（2011•达州）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且2AC =，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）．FEBAC【巩固】（2010•江汉区）如图，等腰Rt ABC △的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点1C ，11C B AB ⊥于点1B ，设弧1BC ，11C B ，1B B 围成的阴影部分的面积为1S ，然后以A 为圆心，1AB 为半径作弧22B C ，交斜边AC 于点2C ，22C B AB ⊥于点2B ，设弧122221B C C B B B ，，围成的阴影部分的面积为2S ，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积3S = ．S 3S 2S 1C 3C 2C 132B 1BA【例6】 (09河南)如图，在半径为5，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D E 、在OB 上，点F 在»AB 上，则阴影部分的面积为____________．OFE DCB A【巩固】将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，4cm 30AB BAC ︒=∠=，，则图中阴影部分面积为 cm 2A'C'A☞与圆锥有关的计算【例7】 （2011•漳州）如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm ，母线长为15cm ，那么纸杯的侧面积为 cm 2．（结果保留π）【巩固】（2010•扬州）一个圆锥的底面半径为4cm ，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm ，那么这个圆锥的侧面积等于 cm 2（结果保留π）．【巩固】（2011•铜仁地区）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，底面半径OB=6米，则圆锥的侧面积是平方米（结果保留π）．AOB【巩固】（2011•宜宾）一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是．【例8】（2010•锦州）将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是33，则圆锥的侧面积是．【巩固】（2011•广西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是．【例9】（2011•宿迁）如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是cm．【巩固】（2011•哈尔滨）若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是．【巩固】（2011•本溪）若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长．【例10】（2011•鸡西）将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是度．【巩固】（2010•襄阳）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是度．【巩固】（2010•红河州）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为度．【巩固】（2010•哈尔滨）将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是度．【例11】（2011•攀枝花）用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为cm．【巩固】（2010•盐城）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．【巩固】（2011•内江）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是．1.如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为( ) A ．10cm B ．3.5πcm C ．4.5πcm D ．2.5πcmA1A 2A2.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=o ，6BC =，点D 为BC 中点，将ABD △绕点A 按逆时针方向旋转120o 得到AB D ''△，则点D 在旋转过程中所经过的路程为 ．(结果保留π)3. 一个扇形所在圆的半径为3cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是 cm 2．1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．1.如图7，在Rt ABC ∆中，9042C AC BC ∠=︒==，，分别以AC BC ，为直径画半圆，则图中阴影部B AC DD ' B '课后作业课堂检测总结复习分的面积为．(结果保留π)2.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积于 。

3. 正n 边形内接于半径为R 的圆，这个n 边形的面积为23R ，则n 等于____________．4.O ⊙的内接多边形周长为3，O ⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )A 6B 8C 10D 17 5.如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD 中，P 为边CD 的中点，直线AP 交圆于E 点． ⑴求弦DE 的长．⑵若Q 是线段BC 上一动点，当BQ 长为何值时，三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点的三角形相似．BAD E P C图1FBADEPC图2Q BAD EPC图3（BADEPC。